3.25. Сложность в математических доказательствах 311

пьютерных вычислений, можно предположить, что полная запись его на бумаге потребовала бы невероятного ее количества. Если же сформулировать эту теорему в виде -высказывания, то степень сложности такого высказывания будет очень небольшой, хотя, наверное, все же большей, нежели степень сложности высказывания, необходимого для выражения гипотезы Гольдбаха. Если бы доказательство Аппеля-Хакена было выдвинуто одним из наших роботов в качестве кандидата на получение -статуса, то его пришлось бы проверять очень и очень тщательно. Для утверждения обоснованности каждого его отдельного фрагмента потребовалось бы участие всего сообщества элитных роботов. И все же, несмотря на сложность доказательства в целом, один лишь объем его чисто вычислительной части вряд ли смог бы явиться сколько-нибудь серьезным затруднением для наших роботов. В конце концов, выполнение точных вычислений - это их работа.

Упомянутые -высказывания вполне укладываются в пределы степени сложности, устанавливаемые любым достаточно большим значением с, - например, тем, что может быть обусловлено каким-либо правдоподобным набором механизмов М, лежащим в основе поведения наших роботов. Несомненно, найдется множество других -высказываний, которые будут значительно сложнее приведенных здесь, хотя степень их сложности и не превысит величины с. Некоторые из таких -высказываний окажутся, скорее всего, особенно неудоборешаемыми, а доказать некоторые из последних, в свою очередь, будет наверняка еще сложнее, чем теорему о четырех красках или даже гипотезу Гольдбаха. Любое из этих -высказываний, истинность которого может быть однозначно установлена роботами (посредством демонстрации, достаточно убедительной для присвоения высказыванию -статуса и успешного преодоления им всех заграждений, установленных с целью обеспечения безошибочности получаемых роботами результатов), автоматически становится теоремой формальной системы Q*.

Кроме того, возможны и пограничные случаи, приемлемость или неприемлемость (причем грань между этими состояниями весьма тонка) которых определяется строгостью стандартов, необходимых для получения -статуса, или тем, насколько точный характер имеют меры предосторожности, установленные с целью обеспечения безошибочности утверждений, прини-

312 Глава 3

маемых в качестве "кирпичей" для построения формальной системы Q*. Точная формулировка системы Q* будет различной в зависимости от того, полагаем мы такое -высказывание Р безошибочным -утверждением либо нет. В обычных обстоятельствах эта разница не имеет большого значения, поскольку различные варианты системы Q*, обусловленные принятием или отклонением высказывания Р, являются логически эквивалентными. Такая ситуация может возникнуть в случае высказываний, доказательства истинности которых роботы могут счесть сомнительными просто из-за их чрезмерной сложности. Если доказательство высказывания Р окажется на деле логическим следствием из других -утверждений, которые уже приняты как безошибочные, то возникнет эквивалентная система Q*, причем вне зависимости от того, принимается высказывание Р в качестве ее теоремы или нет. С другой стороны, возможны такие -высказывания, которые потребуют для своего доказательства каких-то хитроумных логических процедур, выходящих за рамки любых логических следствий из тех -утверждений, которые были приняты как безошибочные ранее, при построении системы Q*. Обозначим получаемую таким образом формальную систему (до включения в нее высказывания Р) через , а систему, образующуюся после присоединения к системе высказывания Р, через . Система окажется неэквивалентна системе в том, например, случае, если высказыванием Р будет гёделевское предположение . Однако если роботы, в соответствии с нашим допущением, способны достичь человеческого уровня математического понимания (а то и превзойти его), то они безусловно должны быть способны понять аргументацию Гёделя, так что им ничего не остается, как признать истинность гёделевского предположения для какой угодно системы (присвоив ему гарантирующий безошибочность -статус), коль скоро обоснованность этой системы ими же -подтверждена. Таким образом, если они принимают систему , то они должны принять и систему Q* (при условии, что степень сложности высказывания не превышает с - а так оно и будет, если

значение с выбрано таким, каким мы выбрали его выше).

Необходимо отметить, что наличие либо отсутствие -высказывания Р в формальной системе Q* никоим образом не влияет на представленные в §§3.19 и 3.20 рассуждения. Само -высказывание G (Q*) принимается за истинное в любом слу-