3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения?

Кого-то из читателей, возможно, до сих пор не оставляет ощущение, что некоторые рассуждения, положенные в основу представленных доказательств, в чем-то парадоксальны и кое-где даже недопустимы. В частности, в §§3.14 и 3.16 имеются фрагменты, несколько отдающие самоотносимостью в духе "парадокса Рассела" (см. §2.6, комментарий к Q9). А когда в §3.20 мы рассматривали -высказывания со сложностью, меньшей некоторого числа с, читатель мог заметить в наших построениях пугающее сходство с известным парадоксом Ричарда, героем которого является

3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? 305

"наименьшее число, описание которого содержит не меньше тридцати одного слога".

Суть парадокса в том, что для описания этого самого числа используется фраза, состоящая всего из тридцати слогов! Этот и другие подобные парадоксы возникают благодаря тому обстоятельству, что ни один естественный язык не свободен от двусмысленностей и даже противоречий8. Наиболее прямолинейно эта языковая противоречивость проявляется в следующем парадоксальном утверждении:

"Это высказывание ложно".

Существует множество других парадоксов подобного рода, причем большинство из них гораздо более хитроумны.

Опасность получения парадокса возникает всякий раз, когда в рассуждении, как и в вышеприведенных примерах, присутствует сильный элемент самоотносимости. Кто-то, возможно, отметит, что элемент самоотносимости содержится и в гёделевском доказательстве. В самом деле, самоотносимость играет в теореме Гёделя определенную роль, как можно видеть в представленном в §2.5 варианте доказательства Гёделя-Тьюринга. Однако парадоксальность не является непременным и обязательным атрибутом таких рассуждений, - хотя, конечно же, при наличии самоотносимости необходимо, во избежание ошибок, проявлять особую осторожность. Свою знаменитую теорему Гёдель сформулировал, вдохновившись одним известным самоотносимым логическим парадоксом (так называемым парадоксом Эпиме-нида). При этом ошибочное рассуждение, приводящее к парадоксу, Гёделю удалось трансформировать в логически безупречное доказательство. Так же и я приложил все старания к тому, чтобы заключения, к которым я пришел, основываясь на полученных Гёделем и Тьюрингом выводах, не оказались самоотносимыми в том смысле, который неизбежно приводит к парадоксу, хотя, справедливости ради, следует признать, что некоторые из моих рассуждений имеют с такими характерными парадоксами разительное и даже фамильное сходство.

Рассуждения, представленные в §3.14 и, особенно, в §3.16, могут показаться не совсем состоятельными именно в этом от-

8В оригинале речь идет лишь об английском языке, однако, как нам представляется, английский язык в этом отношении отнюдь не одинок. - Прим. перев.

306 Глава 3

ношении. Например, определение -утверждения является в высшей степени самоотносимым, поскольку представляет собой сделанное роботом утверждение, причем осознаваемая истинность этого утверждения зависит от предположений самого робота относительно особенностей его первоначальной конструкции. Здесь можно, пожалуй, усмотреть неприятное сходство с утверждением "Все критяне - лжецы", прозвучавшим из уст критянина. И все же в этом смысле самоотносимыми -утверждения не являются, так как на самом деле они ссылаются не на самих себя, а на некую гипотезу об исходной конструкции робота.

Предположим, что некто вообразил себя роботом, пытающимся установить истинность какого-то конкретного четко сформулированного -высказывания . Робот, возможно, окажется неспособен непосредственно установить, является ли высказывание РО в действительности истинным, однако он может обратить внимание на то, что истинность следует из предположения, что истинным является каждый член некоторого вполне определенного бесконечного класса -высказываний S0 (пусть это будут, скажем, теоремы формальной системы Q (М), или , или какой угодно другой системы). Робот не знает,

на самом ли деле каждый член класса является истинным, однако он замечает, что класс есть часть результата некоторого вычисления, причем посредством этого вычисление осуществляется построение некоторой модели сообщества математических роботов, а результат S0 представляет собой семейство высказываний, -утверждаемых этими самыми моделируемыми роботами. Если механизмы, лежащие в основе этого сообщества роботов, совпадают с набором механизмов М, то высказы-1 вание РО представляет собой пример -утверждения. А наш робот придет к выводу, что если он сам построен в соответствии с набором механизмов М, то высказывание Р0 также должно быть' истинным.

Рассмотрим случай с более тонким -утверждением (обозначим его PI ): робот отмечает, что истинность является следствием истинности всех членов другого класса -высказываний (например, Si), который можно получить из результата того же самого вычисления, моделирующего сообщество роботов (на основе механизмов М), только на этот раз существенная часть1 результата состоит из, скажем, тех -высказываний, истин-1 ность которых моделируемые роботы способны установить как