2.1. Теорема Гёделя и машины Тьюринга 113

Думаю, нет необходимости давать в рамках основного доказательства определение "формальной системы" (если такая необходимость все же есть, то см. § 2.7). Вместо этого я воспользуюсь фундаментальным вкладом Тьюринга, который приблизительно в 1936 году описал класс процессов, которые мы сейчас называем "вычислениями" или "алгоритмами" (аналогичные результаты были получены независимо от Тьюринга некоторыми другими математиками, среди которых следует, в первую очередь, упомянуть Черча и Поста). Такие процессы эффективно эквивалентны процедурам, реализуемым в рамках любой математической формальной системы, поэтому для нас не имеет особого значения, что именно понимается под термином "формальная система", коль скоро мы обладаем достаточно ясным представлением о том, что обозначают термины "вычисление" или "алгоритм". Впрочем и для составления такого представления математически строгое определение нам не понадобится.

Те из вас, кто читал мою предыдущую книгу "Новый разум короля" (см. НРК, глава 2), возможно, припомнят, что алгоритм там определяется как процедура, которую способна выполнить машина Тьюринга, или, если угодно, математически идеализированная вычислительная машина. Такая машина функционирует в пошаговом режиме, причем каждый ее шаг полностью задается нанесенной на рабочую "ленту" меткой, которую (метку) машина "считывает" в соответствующий момент времени, и "внутренним состоянием" машины (дискретно определенным) на этот момент. Количество различных разрешенных внутренних состояний конечно, общее число меток на ленте также должно быть конечным, хотя сама лента по длине не ограничена. Машина начинает работу с какого-то определенного состояния, которое мы обозначим, например, нулем "О", команды же подаются на ленте в виде, скажем, двоичного числа (т. е. последовательности нулей "О" и единиц "1"). Далее машина начинает считывать эти команды, передвигая ленту (либо, что то же самое, перемещаясь вдоль ленты) некоторым определенным образом, согласно встроенным пошаговым инструкциям, при этом действие машины на каждом этапе работы определяется ее внутренним состоянием и конкретным символом, считываемым на данном этапе с ленты. Руководствуясь все теми же встроенными инструкциями, машина может стирать имеющиеся метки или ставить новые. В таком духе машина продолжает работать до тех пор, пока не достигнет особой

114 Глава 2

команды "STOP", - именно в этот момент (и никак не раньше) машина прекращает работу, а мы можем увидеть на ленте ответ на выполнявшееся вычисление. Вот и все, можно задавать машине новую задачу.

Можно представить себе некую особую машину Тьюринга, которая способна имитировать действие любой возможной машины Тьюринга. Такие машины Тьюринга называют универсальными. Иными словами, любая отдельно взятая универсальная машина Тьюринга оказывается в состоянии выполнить любое вычисление (или алгоритм), какое нам только может прийти в голову. Хотя внутреннее устройство современного компьютера весьма отличается от устройства описанной выше конструкции (а его внутренняя "рабочая область", пусть и очень велика, все же не бесконечна, в отличие от идеализированной ленты машины Тьюринга), все современные универсальные компьютеры представляют собой, в сущности, универсальные машины Тьюринга.