3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? 307

следствие истинности всего класса . Что же побудит нашего робота заключить, что истинность высказывания PI есть непременное следствие допущения, что он построен в соответствии с механизмами М? Его рассуждение будет выглядеть приблизительно так: "Если в основе моей конструкции лежат механизмы М, то, как я уже установил ранее, необходимо признать, что класс включает в себя только истинные высказывания; согласно же утверждениям моих моделируемых роботов, истинность каждого из высказываний класса также следует из истинности всех высказываний класса So, равно как и истинность высказывания Р0. Таким образом, если предположить, что я и в самом деле построен в соответствии с теми же принципами, что и мои моделируемые роботы, то я должен признать, что каждый отдельный член класса является истинным. А поскольку я понимаю, что истинность всех высказываний класса подразумевает истинность высказывания , я, должно быть, могу вывести и истинность , исходя лишь из того же самого допущения относительно своей конструкции".

Далее можно перейти к еще более тонкому -утверждению (скажем, Р2), которое возникает в том случае, когда робот замечает, что истинность оказывается не чем иным, как следствием допущения истинности всех высказываний класса истинность же каждого члена 52, если верить моделируемому сообществу роботов, является следствием истинности всех без исключения членов . И здесь наш робот оказывается

вынужден признать истинность на том лишь основании, что он построен в соответствии с набором механизмов М. Эту цепочку можно, очевидно, продолжать и дальше, приводя утверждения все большей и большей тонкости , истинность которых будет следовать из допущения истинности всех членов классов и так далее, включая и классы с ин-

дексами более высокого порядка (см. возражение Q19 и последующий комментарий). В общем случае, главной характеристикой -утверждения для робота является осознание последним того обстоятельства, что коль скоро он предполагает, что механизмы, обусловливающие поведение моделируемых роботов, совпадают с механизмами, лежащими в основе его собственной конструкции, то ему ничего не остается, как заключить, что отсюда непременно следует истинность рассматриваемого утверждения ( -высказывания). В этом рассуждении нет ничего от тех

308 Глава 3

внутренне противоречивых методов рассуждения, к числу которых принадлежит, в частности, парадокс Рассела. Представленные -утверждения строятся последовательно посредством стандартной математической процедуры трансфинитных ординалов (см. §2.10, комментарий к Q19). (Все эти ординалы счетны и далеки от тех логических неприятностей, которые постоянно сопутствуют обычным числам, "слишком большим" в том или ином смысле ).

У робота нет иных причин принимать на веру любое из этих HI-высказываний, кроме как исходя из допущения, что он построен в соответствии с набором правил М, впрочем, для доказательства ему этой веры вполне хватает. Возникающее впоследствии действительное противоречие не является математическим парадоксом (подобным парадоксу Рассела) - это самое обыкновенное противоречие, связанное с предположением, что ни одна целиком и полностью вычислительная система не может обрести подлинного математического понимания.

Вернемся к роли самоотносимости в рассуждениях §§ 3.19- 3.21. Называя величину с пределом сложности, допустимым для -утверждений, полагаемых безошибочными, с целью построения формальной системы Q*, я никоим образом не привношу в свое рассуждение неуместной здесь самоотносимости. Понятие "степень сложности" можно определить вполне точно, как, собственно, и обстоит дело с тем конкретным определением, которое мы использовали в наших рассуждениях, а именно: "степень сложности есть количество знаков в двоичном разложении большего из пары чисел тип, фигурирующих в обозначении вычисления Тт (п), представляющего рассматриваемое высказывание". Мы можем воспользоваться представленными в НРК точными спецификациями машин Тьюринга, положив, что Тт есть не что иное, как "m-я машина Тьюринга". Тогда никакой неточности в этом понятии не будет.

Проблема возможной неточности может возникнуть при решении вопроса о том, какие именно рассуждения мы будем принимать в качестве "доказательств" -высказываний. Однако в данном случае некоторый недостаток формальной точности является необходимой составляющей всего рассуждения. Если потребовать, чтобы совокупность аргументов, принимаемых в качестве обоснованных доказательств -высказываний, была целиком и полностью точной и формальной - читай: допуска-