5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 427

можно взять, например, возможные состояния фотона В общем случае их линейная комбинация имеет вид w В § 5.7 мы подробно рассматривали только один конкретный случай (результат отражения/пропускания света, падающего на полусеребрёное зеркало), однако нетрудно реализовать и другие комбинации состояний. Для этого нужно всего лишь изменить степень "серебрёности" зеркала и поместить на пути одного из лучей что-нибудь преломляющее. Так можно набрать полную сферу Римана всевозможных альтернативных состояний, соответствующих различным физическим ситуациям вида + + z|C), т. е. комбинациям двух начальных состояний

Впрочем, в таких случаях геометрическая роль сферы Римана как раз и неочевидна. Однако возможны и иные ситуации, в которых целесообразность построения сферы Римана проявляется в полной мере. Самым наглядным примером такого рода является

описание спиновых состояний частицы со спином i - электрона,

скажем, или протона. В общем случае спиновое состояние можно записать в виде комбинации

>

428

Глава 5

как оказывается (при соответствующем выборе направлений | и из физически эквивалентных возможных вариантов), это самое представляет собой состояние правого спина (величи-

ны |

направление оси которого совпадает с направлением от

начала координат к точке, соответствующей отношению , на сфере Римана. Таким образом, любое направление в пространстве выступает как возможное направление оси спина для любой

частицы со спином . Хотя большая часть спиновых состояний представляется изначально в виде "таинственных комплексно-взвешенных комбинаций возможных альтернативных состояний" (т. е. состояний , мы видим, что эти состояния ничуть

не более (но и не менее) таинственны, чем оригинальные состояния , выбранные нами в качестве начальных. Каждое физически реально в той же мере, что и все остальные.

А что же с состояниями большего спина? Здесь ситуация становится несколько более запутанной - и более таинственной! Приводимое ниже общее описание не пользуется широкой известностью среди современных физиков, хотя оно было предложено еще в 1932 году блестящим итальянским физиком Этторе Майораной (в 1938 году, в возрасте 31 года, Майорана бесследно исчез с борта входившего в Неаполитанский залив парома при обстоятельствах, которые до сих пор не получили удовлетворительного объяснения).

Рис. 5.20. Измерение спина с помощью установки Штерна - Герлаха. Для частицы со спином мы можем получить п +1 возможных результатов, в зависимости от того, какая "доля" спина ориентирована в выбранном направлении.

Рассмотрим сначала то, что физикам таки известно. Допустим, у нас есть атом (или какая-то другая частица) со спином \п.

5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 429

В качестве исходного направления мы снова можем выбрать направление вверх, а заодно и полюбопытствуем, "какая доля" спина атома действительно ориентирована в этом направлении (т.е. является правой относительно направленной вверх оси). Для удовлетворения любопытства можно воспользоваться стандартным устройством, которое называется установкой Штерна - Герлаха и способно осуществлять упомянутые измерения с помощью неоднородного магнитного поля. Как выясняется, различных возможных вариантов развития событий всего п + 1, что обусловлено тем фактом, что атомы в магнитном поле могут отклоняться только в одном из п + 1 возможных направлений (см. рис. 5.20). Доля спина, ориентированного в выбранном направлении, определяется конкретным направлением, в котором

отклоняется атом. Будучи измеренной в единицах , доля ориентированного в данном направлении спина принимает одно из следующих значений: п, п - 2, п - 4, ..., 2 - п, -п. Возможные

же спиновые состояния для атома со спином представляют собой комплексные суперпозиции перечисленных допустимых состояний. Возможные результаты измерения Штерна - Герлаха для спина п + 1 (направление поля в установке - вертикально вверх) я буду записывать следующим образом:

)

что соответствует значениям п, п - 2, п - 4, ..., 2 - п, -п доли спина, ориентированного в этом направлении (запись каждого состояния содержит ровно п стрелок). Результаты можно интерпретировать так: каждая стрелка вверх дает долю спина,

ориентированного вверх, а каждая стрелка вниз дает долю

спина, ориентированного вниз. Складывая эти величины, мы получаем полный спин для каждого конкретного случая измерения с помощью установки Штерна - Герлаха (при ориентации осей в направлении вверх/вниз).

В общем случае суперпозиция этих состояний записывается в виде комплексной комбинации

где хотя бы один из комплексных коэффициентов

430 Глава 5

не равен нулю. Можно ли представить такое состояние с помощью отдельных направлений оси спина, отличных от элементарных "вверх" или "вниз"? Как показал Майорана, такое представление действительно возможно, однако следует допустить, что направления эти будут вполне независимы друг от друга: нет никакой необходимости брать в качестве исходных обязательно пару обязательно противоположных направлений (как в случае измерения с помощью установки Штерна - Герлаха). Иными словами, общее состояние спина мы представим в виде набора из п независимых "стрелок-направлений"; эти направления можно рассматривать как направления, задаваемые п точками на сфере Римана, - при этом каждая "стрелка" исходит из начала координат и заканчивается в соответствующей точке на сфере (см. рис. 5.21). Важно помнить, что мы имеем дело с неупорядоченной совокупностью точек (или направлений), и, следовательно, в порядок их рассмотрения никакого особого смысла вкладывать не нужно.

Рис. 5.21. Майорана описывает общее состояние спина как неупорядоченную совокупность из п точек на сфере Римана, причем каждая точка соответствует "элементарному" спину - направление оси которого совпадает с направлением от начала координат к этой самой точке.

Получившаяся картина выглядит очень странно - если мы попытаемся подойти к квантовомеханическому спину с теми же мерками, что и к привычной концепции вращения на классическом уровне. Вращение классического объекта (например, би-

5.11. Местонахождение и количество движения частицы 431

льярдного шара) всегда происходит вокруг некоторой вполне определенной оси, тогда как объекту квантового уровня позволено, судя по всему, вращаться одновременно вокруг множества осей, ориентированных в самых разных направлениях. Полагая, что квантовые объекты - это, в сущности, те же классические объекты, только "маленькие", мы неизбежно сталкиваемся с парадоксом. Чем больше величина спина, тем большее количество направлений осей необходимо для описания его состояния. Почему же, в таком случае, классические объекты не вращаются вокруг нескольких осей одновременно? Перед нами типичный пример квантовой Х-загадки. Что-то вмешивается в процесс (на некоем неустановленном уровне), и мы обнаруживаем, что большинство типов квантовых состояний на классическом уровне феноменов - т. е. там, где мы могли бы их воспринимать, - не возникают вовсе (или, по меньше мере, почти никогда). В случае спина мы видим, что на классическом уровне сохраняются только те состояния, в которых оси преимущественно группируются в каком-то одном направлении - в направлении оси вращения классического вращающегося объекта.

В квантовой теории есть одно занимательное допущение, называемое "принципом соответствия". Суть этого принципа такова: как только какая-либо физическая величина (например, величина спина) возрастает до некоего предела, становится возможным такое поведение системы, которое очень близко аппроксимирует классическое поведение (как, например, спиновое состояние, где направления всех осей приблизительно одинаковы). Однако нигде почему-то не объясняется, каким образом к подобным состояниям приводит одна лишь шрёдингерова эволюция U. В действительности "классические состояния" так не возникают почти никогда. Состояния классического типа являются результатом действия совершенно иной процедуры - редукции R вектора состояния.

5.11. Местонахождение частицы и ее количество

движения

Еще более наглядным примером такого рода является кван-товомеханическая концепция положения частицы в пространстве. Выше мы говорили о том, что состояние частицы может

432 Глава 5

включать в себя суперпозицию двух или более различных ее положений. (Вспомним также и о примерах из §5.7, где после прохождения полупрозрачного зеркала фотон оказывается в состоянии, предполагающем его нахождение в двух различных лучах одновременно.) Такие суперпозиции возможны и в случае любых других типов частиц (как простых, так и составных) - электронов, протонов, атомов или молекул. Более того, в части U формализма квантовой теории нет ничего, что запрещало бы оказаться в двусмысленном состоянии суперпозиции положений макроскопическим объектам вроде бильярдных шаров. Однако никто ни разу не видел бильярдный шар в состоянии суперпозиции нескольких положений одновременно, равно как никто не видел и бильярдный шар, вращающийся одновременно вокруг нескольких осей. Почему получается так, что некоторые физические объекты оказываются слишком большими, или слишком массивными, или слишком какими-то еще для того, чтобы "протиснуться" на квантовый уровень, вследствие чего не могут в реальном мире находиться в какой бы то ни было суперпозиции состояний? В стандартной квантовой теории переход от квантовых суперпозиций возможных альтернатив к единственному действительному классическому результату осуществляется исключительно благодаря действию процедуры R. Действие же одной лишь процедуры U практически неизбежно приводит к таким классическим суперпозициям, которые выглядят, мягко говоря, "неестественно". (К этому вопросу я еще вернусь в § 6.1.)

На квантовом же уровне те состояния частицы, в которых она не имеет четко определенного положения, могут играть, ни много ни мало, фундаментальную роль: если частица обладает определенным количеством движения (т. е. движется по некоторой определенной траектории в определенном направлении, а не в суперпозиции нескольких разных направлений одновременно), то в состоянии этой частицы непременно должна присутствовать суперпозиция всех ее различных положений одновременно. (Это одно из свойств уравнения Шрёдингера, и для должного объяснения этого свойства потребовалось бы слишком далеко углубиться в технические детали, что нам сейчас совсем не нужно; см., например, НРК, с. 243-250, а также [94] и [70]. Оно, кроме того, тесно связано с принципом неопределенности Гейзенбер-га, устанавливающим предел точности для одновременного измерения положения частицы и ее количества движения.) Более того,