2.10. Возможные формальные возражения против 161

завершающиеся вычисления могут потребовать для своего выполнения столь непомерно долгого времени, что на практике, вполне возможно, не завершатся, скажем, и за все время жизни Вселенной; может случиться и так, что для записи самого вычисления (пусть и конечного) потребуется так много символов, что физически невозможным окажется составить даже его описание. Впрочем, все эти вопросы были исчерпывающим образом проанализированы выше, в обсуждении возражения Q8; там же мы выяснили, что на наш основной вывод они никоим образом не влияют. Вспомним и о возражении Q9, рассмотрение которого показало, что интуиционисты в этом случае также не избегают вывода .

Кроме того, концепция (весьма ограниченная, надо сказать) математической истины, необходимая мне для доказательства Гёделя-Тьюринга, определена, вообще говоря, не менее четко, нежели концепции ИСТИННОГО, ЛОЖНОГО и НЕРАЗРЕШИМОГО для любой формальной системы F. Из сказанного выше (§ 2.9) нам известно, что существует некий алгоритм F, эквивалентный системе F. Если алгоритму предстоит обработать некое предположение Р (формулируемое на языке системы F), то выполнение этого алгоритма может быть успешно завершено только в том случае, если предположение Р доказуемо в соответствии с правилами системы F, т.е. когда предположение Р ИСТИННО. Соответственно, предположение Р является ЛОЖНЫМ, если алгоритм F успешно завершается при обработке предположения ~ Р, и НЕРАЗРЕШИМЫМ, если не завершается ни одно из упомянутых вычислений. Вопрос о том, является ли математическое утверждение Р ИСТИННЫМ, ЛОЖНЫМ или НЕРАЗРЕШИМЫМ, в точности совпадает по своей природе с вопросом о реальной истинности утверждений о завершаемости или незавер-шаемости вычислений - иными словами, о ложности или истинности определенных -высказываний - а кроме этого для нашего "гёделевско-тьюринговского" доказательства ничего и не требуется.

Q11. Существуют определенные -высказывания, которые можно доказать с помощью теории бесконечных множеств, однако не известно ни одного доказательства, которое использовало бы стандартные "конечные" методы. Не означает ли это, что

164 Глава 2

принципах, лежащих в основе действий любого из нас. Меня же на данном этапе интересует не столько различия подходов отдельных математиков к той или иной математической проблеме, сколько то общее, что есть между нашим пониманием и нашим математическим восприятием.

Попытаемся разобраться, действительно ли мы вынуждены принять формулировку . В самом ли деле суждения математиков настолько субъективны, что они могут принципиально расходиться при установлении истинности какого-то конкретного -высказывания? (Разумеется, доказательство, устанавливающее истинность -высказывания, может быть просто-напросто быть слишком громоздким или слишком сложным, чтобы его мог воспроизвести тот или иной математик (см. ниже по тексту возражение Q12), т.е. на практике математики вполне могут разойтись во мнениях. Однако в данном случае нас интересует вовсе не это. Мы занимаемся исключительно принципиальными вопросами.) Вообще говоря, математическое доказательство есть вещь не настолько субъективная, как может показаться на основании вышесказанного. Математики могут придерживаться самых разных - и, на их взгляд, неопровержимо истинных - точек зрения по тем или иным фундаментальным вопросам и во всеуслышание объявлять об этом, однако едва дело доходит до доказательств или опровержений каких-либо вполне определенных конкретных -высказываний, все разногласия тут же куда-то исчезают. Никто не воспримет всерьез доказательство -высказывания, утверждающего, по сути своей, непротиворечивость некоторой формальной системы F, если математик будет основывать его только лишь на существовании некоего спорного бесконечного множества S. То, что при этом в действительности доказывается, можно сформулировать следующим, куда более приемлемым, образом: "Если множество S существует, то формальная система F является непротиворечивой, и в этом случае данное -высказывание истинно".

Тем не менее, могут быть и исключения: например, один математик полагает, что некоторое неконструктивно-бесконечное множество S "с очевидностью" существует - или, по крайней мере, что допущение о его существовании никоим образом не приводит к противоречию, - другой же математик никакой очевидности здесь не усматривает. Дискуссии математиков по таким фундаментальным вопросам могут порой принимать поистине