6.4. Матрица плотности 491

ля , см. §5.10). В системе обозначений Дирака ис-

ходный вектор называется "кет"-вектором, а соответствующий ему - "бра"-вектором. Бра-вектор и кет-вектор могут образовывать и скалярное произведение ("bra-ket"3):

с таким обозначением мы уже встречались в §5.12. Значением скалярного произведения является самое обычное комплексное число, тогда как тензорное произведение в матрице плотности дает более сложный математический "объект" - элемент некоторого векторного пространства.

Перейти от непонятного "объекта" к обычному комплексному числу позволяет особая математическая операция, называемая вычислением следа (или суммы элементов главной диагонали) матрицы. Для простого выражения эта операция сводится к простой перестановке членов, дающей в результате скалярное произведение:

В случае суммы членов "след" вычисляется линейно: например,

Я не стану в подробностях выводить все математические свойства таких объектов, как , однако кое о чем упомянуть

стоит. Во-первых, произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, что перечислены на с. 446 для произведения (за исключением последнего, которое к данному случаю неприменимо):

Следует также отметить, что бра-вектор является комплексным сопряженным кет-вектора (поскольку число z есть комплексное сопряженное комплексного числа z, см. с. 412), а сумма - комплексным сопряженным суммы

3Созвучно английскому bracket "скобка". - Прим. перев.

492 Глава 6

Допустим, нам нужно составить матрицу плотности, представляющую некоторую комбинацию вероятностей нормированных состояний, скажем, ; вероятности, соответственно, равны а и . Правильная матрица плотности в данном случае будет иметь вид

Для трех нормированных состояний с соответствую-

щими вероятностями а, , с имеем

и так далее. Из того, что вероятности всех альтернативных вариантов должны в сумме давать единицу, можно вывести важное свойство, справедливое для любой матрицы плотности:

Как же использовать матрицу плотности для вычисления вероятностей, результатов измерения? Рассмотрим сначала простой случай примитивного измерения. Спросим, находится ли система в физическом состоянии (ДА) или в ином состоянии, ортогональном (НЕТ). Само измерение представляет собой математический объект (так называемый проектор), очень похожий на матрицу плотности:

Вероятность р получения ответа ДА определяется из выражения

где произведение DE само представляет собой объект, подобный матрице плотности. Оно вычисляется с помощью несложных алгебраических правил, необходимо лишь соблюдать порядок "умножений". Например, для вышеприведенной двучленной суммы имеем

6.4. Матрица плотности 493

Члены могут "коммутировать" с другими выраже-

ниями, так как они представляют собой просто числа, порядок же таких "объектов", как необходимо тщательно соблю-

дать. Далее получаем (учитывая, что , см. с. 412)

Напомню (см. §5.13, с. 443), что величины

представляют собой квантовые вероятности соответствующих

конечных состояний , тогда как а и Ъ суть классические

вклады в полную вероятность. Таким образом, в окончательном

выражении квантовые и классические вероятности оказываются

смешаны.

В случае более общего измерения типа "да/нет" рассуждение в целом не изменяется, только вместо определенного выше проектора используется проектор более общего вида

где - взаимно ортогональные нормированные

состояния, заполняющие пространство ДА-состояний в гильбертовом пространстве. Как мы видим, проекторы обладают общим свойством

Вероятность получения ответа ДА при измерении, определяемом проектором , системы с матрицей плотности D равна следу (DE) - в точности, как и в предыдущем примере.

Отметим важный факт: искомую вероятность можно вычислить, если нам всего-навсего известны матрица плотности и проектор, описывающий измерение. Нам не нужно знать, каким именно образом из индивидуальных состояний была составлена матрица плотности. Полная вероятность получается сама собой в виде соответствующей комбинации классических и квантовых вероятностей, а нам не приходится беспокоиться, какая ее часть откуда взялась.

Рассмотрим повнимательнее это любопытное переплетение классических и квантовых вероятностей в матрице плотности.

Допустим, например, что у нас имеется частица со спином ,

494 Глава 6

и мы абсолютно не уверены, в каком спиновом состоянии (нормированном) она в данный момент пребывает - или Предположив, что соответствующие вероятности этих состояний

равны и , построим матрицу плотности

Простое вычисление показывает, что в точности такая же матрица плотности D получается в случае комбинации равных вероятностей любых других ортогональных возможностей - скажем, состояний (нормированных)

Допустим, мы решили измерять спин частицы в направлении "вверх", т. е. соответствующий проектор имеет вид

Тогда для вероятности получения ответа ДА, согласно первому описанию, находим

где мы полагаем (поскольку состоя-

ния нормированы и ортогональны). Согласно второму описанию, находим