5.12. Гильбертово пространство 433

в состояниях с определенным количеством движения частицы демонстрируют колебательное (в направлении движения) пространственное поведение, чего при обсуждении состояний фотонов в § 5.7 мы не учитывали. Строго говоря, термин "колебательное" здесь не совсем подходит. Как выясняется, упомянутые "колебания" отнюдь не похожи на колебания, скажем, струны - комплексные весовые коэффициенты не "мечутся" взад и вперед сквозь начало координат на комплексной плоскости, но, будучи чистыми фазами (см. рис. 5.18), движутся вокруг начала координат с постоянной скоростью, причем эта самая скорость задает частоту , пропорциональную энергии Е частицы в соответствии со знаменитой формулой Планка Е = hv. (Графическое представление состояний количества движения в виде этакого "штопора" можно найти в НРК, рис. 6.11.) Все эти вещи, хоть они и важны для квантовой теории, в наших дальнейших рассуждениях особой роли не играют, поэтому читатель вполне может обойтись и без детального их изучения.

В общем случае комплексные весовые коэффициенты вовсе не обязательно должны иметь именно такой "колебательный" вид, они могут изменяться от точки к точке произвольным образом. Весовые коэффициенты задают комплексную функцию положения, которая называется волновой функцией, частицы.

5.12. Гильбертово пространство

Чтобы более внятно (и более точно) рассказать о том, как работает процедура R в стандартных квантовомеханических описаниях, необходимо перейти на несколько (совсем немного) более высокий уровень математической абстракции. Семейство всех возможных состояний квантовой системы образует так называемое гильбертово пространство. Нужды объяснять значение этого термина во всех математических тонкостях у нас в данный момент нет, однако некоторое представление о нем все же получить стоит - это поможет нам прояснить существующую картину квантового мира.

Первая и наиболее важная особенность, на которую следует обратить внимание: гильбертово пространство является комплексным векторным пространством. Это, в сущности, означает, что здесь мы вправе выполнять действия с комплексно-взвешенными комбинациями, посредством которых описываются

434 Глава 5

квантовые состояния. Для обозначения элементов гильбертова пространства я продолжу использовать диракову скобку "кет", т. е. если состояния являются элементами гильбертова

пространства, то таким же его элементом является и состояние , где w и z - любая пара комплексных чисел. Допускается даже комбинация w = z = О, она дает элемент О гильбертова пространства - единственный элемент, не соответствующий никакому возможному физическому состоянию. Как и в любом другом векторном пространстве здесь действуют самые обыкновенные алгебраические правила:

>

а это более или менее означает, что мы можем использовать алгебраическую систему обозначений привычным нам образом.

Иногда гильбертово пространство имеет конечную размерность - как, например, при описании спиновых состояний частицы. В случае спина гильбертово пространство двумерно, а его элементы представляют собой комплексные линейные комбинации двух состояний, . Для спина гильбертово

пространство -мерно. Однако размерность гильбертова

пространства может быть и бесконечной -o такое пространство необходимо, например, для описания состояний положения частицы. В этом случае каждое альтернативное положение, которое может занимать частица, рассматривается как отдельное измерение гильбертова пространства. Общее же состояние, определяющее квантовое местоположение частицы, записывается как комплексная суперпозиция всех этих различных отдельных положений (волновая функция для данной конкретной частицы). Надо сказать, что с рассмотрением такого бесконечномерного гильбертова пространства связаны определенные математические осложнения, которые лишь запутают нас без всякой на то