- •Пенроуз р. Тени разума: в поисках науки о сознании. 1994
- •Часть I. Почему для понимания разума необходима новая физика?
- •Глава 1. Сознание и вычисление 27
- •Глава 2. Гёделевское доказательство 111
- •Глава 3. О невычислимости в математическом мышлении 206
- •Часть II. Новая физика, необходимая для понимания разума в поисках невычислительной физики разума
- •Глава 4. Есть ли в классической физике место разуму? 339
- •Глава 5. Структура квантового мира 373
- •Глава 6. Квантовая теория и реальность 474
- •Глава 7. Квантовая теория и мозг 534
- •Глава 8. Возможные последствия 598
- •Часть I
- •Часть I
- •1.1. Разум и наука
- •1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир?
- •1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир? 31
- •1.2. Спасут ли роботы этот безумный мир? 33
- •1.3. Вычисление и сознательное мышление
- •1.3. Вычисление и сознательное мышление 35
- •1.3. Вычисление и сознательное мышление 37
- •1.3. Вычисление и сознательное мышление 39
- •1.4. Физикализм и ментализм 41
- •1.4. Физикализм и ментализм
- •1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие процедуры
- •1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие процедуры 43
- •1.5. Вычисление: нисходящие и восходящие процедуры 45
- •1.7. Хаос
- •1.7. Хаос 49
- •1.7. Хаос 51
- •1.8. Аналоговые вычисления
- •1.8. Аналоговые вычисления 53
- •1.8. Аналоговые вычисления 55
- •1.9. Невычислительные процессы
- •1.9. Невычислительные процессы 57
- •1.9. Невычислительные процессы 59
- •1.9. Невычислительные процессы
- •Глава I
- •1.9. Невычислительные процессы 65
- •Глава I
- •1.10. Завтрашний день
- •1.10. Завтрашний день 67
- •Глава I
- •1.11. Обладают ли компьютеры правами и несут ли ответственность?
- •1.12. "Осознание", "понимание", "сознание", "интеллект" 71
- •1.12. "Осознание", "понимание", "сознание", "интеллект"
- •1.12. "Осознание", "понимание", "сознание", "интеллект" 73
- •1.12. "Осознание", "понимание", "сознание", "интеллект" 75
- •1.13. Доказательство Джона Серла 77
- •1.13. Доказательство Джона Серла
- •1.14. Некоторые проблемы вычислительной модели 79
- •1.14. Некоторые проблемы вычислительной модели 81
- •Глава I
- •1.16. Доказательство на основании теоремы Гёделя 89
- •1.17. Платонизм или мистицизм?
- •1.17. Платонизм или мистицизм? 91
- •1.18. Почему именно математическое понимание?
- •1.18. Почему именно математическое понимание? 93
- •1.19. Какое отношение имеет теорема Гёделя к "бытовым" действиям?
- •1.20. Мысленная визуализация и виртуальная реальность 101
- •1.20. Мысленная визуализация и виртуальная реальность 103
- •2.1. Теорема Гёделя и машины Тьюринга
- •2.1. Теорема Гёделя и машины Тьюринга 113
- •2.2. Вычисления
- •2.2. Вычисления 115
- •2.3. Незавершающиеся вычисления
- •Глава 2
- •2.6. Возможные формальные возражения против & 129
- •2.6. Возможные формальные возражения против
- •2.6. Возможные формальные возражения против & 133
- •2.6. Возможные формальные возражения против 135
- •2.6. Возможные формальные возражения против 137
- •2.6. Возможные формальные возражения против 139
- •2.6. Возможные формальные возражения против 141
- •2.6. Возможные формальные возражения против 143
- •2.8. Условие -непротиворечивости 151
- •2.8. Условие -непротиворечивости
- •2.8. Условие -непротиворечивости 153
- •2.9. Формальные системы и алгоритмическое доказательство
- •2.10. Возможные формальные возражения против (продолжение)
- •2.10. Возможные формальные возражения против 159
- •2.10. Возможные формальные возражения против 161
- •2.10. Возможные формальные возражения против 165
- •2.10. Возможные формальные возражения против 167
- •2.10. Возможные формальные возражения против 169
- •2.10. Возможные формальные возражения против 171
- •2.10. Возможные формальные возражения против 173
- •2.10. Возможные формальные возражения против 175
- •2.10. Возможные формальные возражения против 177
- •2.10. Возможные формальные возражения против 179
- •2.10. Возможные формальные возражения против 181
- •2.10. Возможные формальные возражения против 183
- •2.10. Возможные формальные возражения против 185
- •2.10. Возможные формальные возражения против 187
- •2.10. Возможные формальные возражения против 189
- •2.10. Возможные формальные возражения против 191
- •3.1. Гёдель и Тьюринг
- •3.1. Гёдель и Тьюринг 207
- •3.2. Способен ли необоснованный алгоритм познаваемым образом моделировать математическое понимание?
- •3.3. Способен ли познаваемый алгоритм непознаваемым образом моделировать математическое понимание?
- •3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом?
- •3.5. Может ли алгоритм быть непознаваемым?
- •3.5. Может ли алгоритм быть непознаваемым? 231
- •3.5. Может ли алгоритм быть непознаваемым? 233
- •3.6. Естественный отбор или промысел Господень?
- •3.6. Естественный отбор или промысел Господень? 235
- •3.7. Алгоритм или алгоритмы?
- •3.7. Алгоритм или алгоритмы? 237
- •3.9. Алгоритмы обучения 243
- •3.9. Алгоритмы обучения
- •3.9. Алгоритмы обучения 245
- •3.11. Как обучаются роботы? 249
- •3.11. Как обучаются роботы?
- •3.11. Как обучаются роботы? 251
- •3.13. Механизмы математического поведения робота 257
- •3.13. Механизмы математического поведения робота 259
- •3.14. Фундаментальное противоречие 261
- •3.14. Фундаментальное противоречие
- •3.14. Фундаментальное противоречие 263
- •3.15. Способы устранения фундаментального противоречия
- •3.16. Необходимо ли роботу верить в механизмы м?
- •3.16. Необходимо ли роботу верить в механизмы м? 267
- •3.16. Необходимо ли роботу верить в механизмы м? 269
- •3.17. Робот ошибается и робот "имеет в виду"?
- •3.17. Робот ошибается и робот "имеет в виду"? 271
- •3.19. Исключение ошибочных -утверждений 275
- •3.19. Исключение ошибочных -утверждений
- •3.21. Окончателен ли приговор?
- •3.21. Окончателен ли приговор? 285
- •3.22. Спасет ли вычислительную модель разума хаос? 287
- •3.23. Reductio ad absurdum - воображаемый диалог 291
- •3.23. Reductio ad absurdum - воображаемый диалог 293
- •3.23. Reductio ad absurdum - воображаемый диалог 295
- •3.23. Reductio ad absurdum - воображаемый диалог 297
- •3.23. Reductio ad absurdum - воображаемый диалог 301
- •3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения?
- •3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? 305
- •3.24. Не парадоксальны ли наши рассуждения? 307
- •3.25. Сложность в математических доказательствах 309
- •3.25. Сложность в математических доказательствах
- •3.25. Сложность в математических доказательствах 311
- •3.26. Разрыв вычислительных петель 313
- •3.26. Разрыв вычислительных петель
- •3.26. Разрыв вычислительных петель 315
- •3.26. Разрыв вычислительных петель 317
- •3.27. Вычислительная математика: процедуры нисходящие или восходящие?
- •3.28. Заключение
- •3.28. Заключение 323
- •3.28. Заключение 325
- •3.28. Заключение 327
- •3.28. Заключение 329
- •3.28. Заключение 331
- •3.28. Заключение 333
- •3.28. Заключение 335
- •Часть II
- •4.1. Разум и физические законы
- •4.1. Разум и физические законы 341
- •4.2. Вычислимость и хаос в современной физике
- •4.2. Вычислимость и хаос в современной физике 343
- •4.4. Эйнштейнов наклон 345
- •4.4. Эйнштейнов наклон
- •4.4. Эйнштейнов наклон 347
- •4.4. Эйнштейнов наклон
- •4.4. Эйнштейнов наклон
- •4.4. Эйнштейнов наклон
- •4.4. Эйнштейнов наклон 355
- •Глава 4
- •4.4. Эйнштейнов наклон
- •4.4. Эйнштейнов наклон 359
- •4.5. Вычисления и физика
- •4.5. Вычисления и физика 361
- •4.5. Вычисления и физика 363
- •4.5. Вычисления и физика
- •4.5. Вычисления и физика 367
- •4.5. Вычисления и физика 369
- •4.5. Вычисления и физика 371
- •5.1. Квантовая теория: головоломки и парадоксы
- •5.1. Квантовая теория: головоломки и парадоксы 375
- •5.2. Задача Элитцура - Вайдмана об испытании бомб 377
- •5.3. Магические додекаэдры
- •5.3. Магические додекаэдры
- •5.3. Магические додекаэдры
- •5.3. Магические додекаэдры 383
- •5.3. Магические додекаэдры 385
- •Глава 5
- •Глава 5
- •Глава 5
- •5.6. Основные правила квантовой теории
- •5.6. Основные правила квантовой теории 403
- •5.7. Унитарная эволюция u 405
- •5.7. Унитарная эволюция u
- •5.7. Унитарная эволюция u 407
- •5.7. Унитарная эволюция u 409
- •Глава 5
- •5.8. Редукция r вектора состояния
- •5.8. Редукция r вектора состояния 411
- •5.8. Редукция r вектора состояния 413
- •Глава 5
- •Глава 5
- •5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 421
- •5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана
- •5. . Квантовая теория спина. Сфера Римана
- •5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана
- •5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 427
- •Глава 5
- •5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана 429
- •5.12. Гильбертово пространство 433
- •5.12. Гильбертово пространство
- •5. / 2. Гильбертово пространство
- •Глава 5
- •5.12. Гильбертово пространство 437
- •5.13. Описание редукции r в терминах гильбертова пространства
- •5.14. Коммутирующие измерения
- •5.15. Квантовомеханическое "и"
- •5.16. Ортогональность произведений состояний
- •5.17. Квантовая сцепленность
- •5.17. Квантовая сцепленность 451
- •5.17. Квантовая сцепленность 453
- •5.17. Квантовая сцепленность 455
- •5.17. Квантовая сцепленность 457
- •Глава 5
- •5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров
- •5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров 459
- •5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров 463
- •5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров 465
- •6.1. Является ли r реальным процессом?
- •6.1. Является ли r реальным процессом? 475
- •6.1. Является ли r реальным процессом? 477
- •6.2. О множественности миров 479
- •6.2. О множественности миров
- •6.2. О множественности миров 481
- •6.3. Не принимая вектор всерьез
- •6.3. Не принимая вектор всерьез 483
- •6.3. Не принимая вектор всерьез 485
- •6.4. Матрица плотности
- •6.4. Матрица плотности 489
- •6.4. Матрица плотности 491
- •6.4. Матрица плотности 493
- •6.4. Матрица плотности 495
- •6.5. Матрицы плотности для эпр-пар
- •6.5. Матрицы плотности для эпр-пар 497
- •6.6. Fapp-объяснение процедуры r 499
- •6.6. Fapp-объяснение процедуры r
- •6.6. Fapp-объяснение процедуры r 503
- •6.6. Fapp-объяснение процедуры r 505
- •6.7. Fapp-объяснение правила квадратов модулей
- •6.7. Fapp-объяснение правила квадратов модулей 507
- •6.9. А теперь попробуем принять действительно всерьез
- •Глава 6
- •6.10. Гравитационная редукция вектора состояния 515
- •6.10. Гравитационная редукция вектора состояния
- •6. 10. Гравитационная редукция вектора состояния 517
- •6.11. Абсолютные единицы 519
- •6.11. Абсолютные единицы
- •6.12. Новый критерий 521
- •6.12, Новый критерий
- •6.12. Новый критерий 523
- •6.12. Новый критерий 525
- •6.12. Новый критерий 527
- •6.12. Новый критерий 529
- •6.12. Новый критерий 531
- •7.2. Нейроны, синапсы и компьютеры
- •7.2. Нейроны, синапсы и компьютеры 541
- •7.2. Нейроны, синапсы и компьютеры 543
- •7.3. Квантовые вычисления
- •7.3. Квантовые вычисления 545
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки 547
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки 549
- •Глава 7
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки
- •Глава 7
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки 553
- •Глава 7
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки
- •Глава 7
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки 557
- •7.4. Цитоскелет и микротрубочки
- •7.5. Квантовая когерентность внутри микротрубочек 561
- •7.5. Квантовая когерентность внутри микротрубочек
- •7.5. Квантовая когерентность внутри микротрубочек 563
- •7.6. Микротрубочки и сознание
- •7.6. Микротрубочки и сознание 565
- •7.7. Модель разума
- •7.7. Модель разума 569
- •7.7. Модель разума 571
- •7.7. Модель разума 573
- •7.8. Невычислимость в квантовой гравитации (1)
- •7.8. Невычислимость в квантовой гравитации (1) 577
- •7.9. Машины с оракулом и физические законы
- •7.9. Машины с оракулом и физические законы 579
- •7.10. Невычислимость в квантовой гравитации (2) 581
- •7.10. Невычислимость в квантовой гравитации (2)
- •7.10. Невычислимость в квантовой гравитации (2) 583
- •7.11. Время и сознательное восприятие
- •7.11. Время и сознательное восприятие 585
- •Глава 7
- •7.11. Время и сознательное восприятие 587
- •7.11. Время и сознательное восприятие 589
- •8.1. Искусственные разумные "устройства"
- •8.1. Искусственные разумные "устройства" 599
- •8.1. Искусственные разумные "устройства" 601
- •8.2. Что компьютеры умеют делать хорошо... И что не очень
- •8.3. Эстетика и т. Д.
- •8.4. Опасности компьютерных технологий
- •8.4. Опасности компьютерных технологий 611
- •8.5. Неправильные выборы 613
- •8.5. Неправильные выборы
- •8.5. Неправильные выборы 615
- •8.6. Физический феномен сознания 617
- •8.6. Физический феномен сознания
- •8.6. Физический феномен сознания 619
- •8.6. Физический феномен сознания 621
- •8.6. Физический феномен сознания 623
- •8.7. Три мира и три загадки 625
- •8.7. Три мира и три загадки
- •8.7. Три мира и три загадки 627
- •8.7. Три мира и три загадки
- •8.7. Три мира и три загадки 631
- •8.7. Три мира и три загадки 633
- •8.7. Три мира и три загадки 635
- •8.7. Три мира и три загадки 637
- •8.7. Три мира и три загадки 639
3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом?
Допустим, что в основе математического понимания и в самом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены, что наши математические представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем I, где мы исключили возможность нашего знания о том, что некая система F и в самом деле является необоснованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы F принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется повторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью F. Можно ли считать действительно правдоподобным предположение о том, что фундаментом для наших неопровержимых математических убеждений служит некая необоснованная система - настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства 1 = 2. Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным математическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку математические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания.
Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятного в том, что какие-то современные общепринятые математические суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспоримыми в будущем) содержат скрытые "врожденные" противоречия. Возможно, сошлется даже на тот знаменитый парадокс (о "множестве множеств, которые не являются элементами самих себя"), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опубликовать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражению Q9, §2.7 и НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [127]):
Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения
ЗА. Неосознаваемое применение алгоритма 225
сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бумаге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела...
Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допускают ошибки - порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне исправимой. Разве мы не убедились (в §2.10, комментарий к Q13) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рассуждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и в §2.10, лишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообщества. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность которых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадлежат к категории принципиальных вопросов, разве не так? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражению Q13, поскольку теперь у нас есть формальная система F, которая, возможно, лежит в основе нашего математического понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки - или "оговорки", - которые может допустить отдельный математик, рассуждая в рамках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упущение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаключений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт наличия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречивости установлен не был, то математики могли бы еще долгое время
226 Глава 3
считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фундаменте собственные системы.
Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла система Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержится в тех или иных полагаемых нами на данный момент неопровержимо истинными математических процедурах, - парадокс, о котором никто не узнает еще, быть может, многие века. Необходимость в смене привычных правил мы осознаем лишь тогда, когда такой парадокс наконец себя проявит. Короче говоря, наша математическая интуиция не зиждется на каких-то непреходящих в веках установлениях, а напротив, непрерывно меняется под сильным воздействием идей, которые прекрасно "работали" прежде, и соображений, последствия применения которых пока что "сходят нам с рук". Такая точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в основе нашего теперешнего математического понимания некоего алгоритма (или формальной системы), однако этот алгоритм не является чем-то неизменным, по мере обнаружения новых данных он подвергается непрерывной модификации. К изменяющимся алгоритмам мы еще вернемся несколько позднее (см. §§3.9- 3.11, а также § 1.5), где и убедимся в том, что это по-прежнему все те же алгоритмы, только в ином обличье.
Разумеется, с моей стороны было бы наивным отрицать тот факт, что в методах, которые применяют в своей работе математики, нередко присутствует элемент "доверия" процедуре, если она "до сих пор, кажется, работает". В моей собственной математической практике такие предварительные, ориентировочные, нечеткие соображения составляют в общей совокупности рассуждений весьма заметный процент. Однако они, как правило, обретаются в той области, которая "отвечает" за нащупывание нового, еще не сформировавшегося понимания, а никак не в той, где мы "складываем" неопровержимо, на наш взгляд, установленные истины. Я очень сомневаюсь, что сам Фреге так уж категорически полагал свою систему абсолютно неопровержимой,
3.4. Неосознаваемое применение алгоритма 227
даже не подозревая еще о парадоксе, о котором написал ему Рассел. Система суждений столь общего характера, что бы ни думал по ее поводу автор, всегда выдвигается на всеобщее обозрение с некоторой настороженностью. Лишь после длительного "периода осмысления" можно будет полагать, что она достигла, наконец, "уровня неопровержимости". Имея же дело с системой настолько общей, как система Фреге, в любом случае, как мне кажется, следует употреблять выражения вида "полагая систему Фреге обоснованной, можно считать справедливым то-то и то-то", а не просто утверждать эти самые "то-то и то-то" без упомянутой оговорки. (См. также комментарии к возражениям Q11
)
Возможно, в настоящее время математики стали более осторожными в отношении того, что они готовы рассматривать как "неопровержимую истину" - эпоха осторожности сменила эпоху отчаянной дерзости (среди примеров которой работа Фреге занимает далеко не последнее место), пришедшуюся на конец XIX столетия. С выходом на сцену парадокса Рассела и прочих ему подобных необходимость в такой осторожности проявляется особенно наглядно. Что же касается дерзости, то она, по большей части, уходит корнями в те времена, когда математики начали потихоньку осознавать всю мощь канторовой теории бесконечных чисел и бесконечных множеств, выдвинутой им в начале того же XIX века. (Следует, впрочем, отметить, что Кантор знал о парадоксах, подобных парадоксу Рассела, - задолго до того, как сам Рассел обнаружил тот, что был назван его именем , - и предпринимал попытки усовершенствовать свою формулировку с тем, чтобы, по возможности, учитывать подобные проблемы.) Цели и характер моих рассуждений на этих страницах также, несомненно, требуют крайней осторожности. И я безмерно рад, что нам с вами приходится иметь дело только с утверждениями, истинность которых неопровержима, и что нет никакой необходимости влезать в дебри бесконечных множеств и прочих сомнительных понятий. Важно помнить, что - где бы мы ни провели черту - полученные с помощью доказательства Гёделя утверждения всегда остаются в рамках неопровержимо истинного (см. также комментарий к возражению Q13). Само по себе доказательство Гёделя (-Тьюринга) не имеет абсолютно никакого отношения к вопросам, связанным с сомнительным существованием бесконечных множеств определенного сорта. Неясности,
228 Глава 3
касающиеся тех самых исключительно вольных рассуждений, столь занимавших Кантора, Фреге и Рассела, ничуть не занимают нас - до тех пор, пока они остаются "сомнительными", не претендуя на звание "неопровержимых". Коль скоро мы со всем этим согласны, я никак не могу счесть правдоподобным допущение, согласно которому математики действительно используют в качестве основы для своего математического понимания и убеждений какую-либо необоснованную формальную систему F. Я надеюсь, читатель согласится с тем, что вне зависимости от того, возможна такая ситуация или нет, она, во всяком случае, невероятна.
Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей гипотетической системы F, вернемся ненадолго к другим аспектам человеческой "неточности", о которых мы говорили выше (см. комментарии к возражениям Q12 и Q13). Прежде всего повторю: нас в данном случае интересуют не вдохновение, не гениальные догадки и не эвристические критерии, способные привести математика к великим открытиям, но лишь понимание и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся его неопровержимые убеждения в отношении математических истин. Эти убеждения могут оказаться всего-навсего результатом ознакомления с рассуждениями других математиков, и в этом случае о каких бы то ни было элементах математического открытия говорить, разумеется, не приходится. А вот когда мы нащупываем путь к какому-то подлинному открытию, и впрямь весьма важно дать размышлениям свободу, не ограничивая их изначально необходимостью в полной достоверности и точности (у меня сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринг в приведенной выше цитате, см. §3.1). Однако когда перед нами встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в поддержку неопровержимой истинности выдвигаемого математического утверждения, необходимо полагаться лишь на понимание и проницательность (нередко в сопровождении громоздких вычислений), которым ошибки принципиально не свойственны.
Я вовсе не хочу сказать, что математики, полагающиеся на понимание, не делают ошибок, - делают, и даже часто: понимание тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к
3.4. Неосознаваемое применение алгоритма 229
пониманию (хотя я, пожалуй, могу представить себе, каким образом подобные случайные обстоятельства могут порой привести человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важно - эти ошибки исправимы; их можно распознать как ошибки, когда на них укажет какой-либо другой математик (или даже впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, когда понимание математика контролируется некоей внутренне ошибочной формальной системой F: в рамках такой системы невозможно распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможности существования самосовершенствующейся системы, которая модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе противоречие, то о ней мы поговорим несколько позднее, "на подступах" к противоречию §3.14. Там же мы и обнаружим, что и от такого предположения в данном случае пользы мало; см. также §3.26.)
Ошибки несколько иного рода возникают при неверной формулировке математического утверждения; в этом случае выдвигающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто совсем отличное от того, что он буквально утверждает. Впрочем, такие ошибки также исправимы и не имеют ничего общего с теми внутренними ошибками, причиной которых является понимание, опирающееся на необоснованную систему F (здесь уместно вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с возражением Q13: "Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!"). Мы с вами здесь для того, чтобы выяснить, что в принципе может (либо не может) быть установлено каким угодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только что рассмотренным, - т. е. исправимые ошибки - никакого отношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для всего нашего исследования момент: круг идей и понятий, доступных математическому пониманию, непременно должен включать в себя центральную идею доказательства Гёделя-Тьюринга; на этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез возможность I, а возможность II полагаем крайне невероятной. Как уже отмечалось выше (в комментарии к возражению Q13), идея доказательства Гёделя-Тьюринга, безусловно, должна являться частью того, что в принципе в состоянии понять математик, даже если какое-то конкретное утверждение "G(F)>>, на котором этот математик, возможно, основывается, ошибочно - лишь бы ошибка была исправимой.
230 Глава 3
С возможной "необоснованностью" предполагаемого алгоритма математического понимания связаны и другие вопросы, о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются процедур "восходящего" типа - таких, к примеру, как самоусовершенствующиеся алгоритмы, алгоритмы обучения (в том числе и искусственные нейронные сети), алгоритмы с дополнительными случайными компонентами, а также алгоритмы, операции которых обусловлены внешним окружением, в котором функционируют соответствующие алгоритмические устройства. Некоторые из упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к возражению Q2), подробнее же мы рассмотрим их при обсуждении случая III, к каковому обсуждению мы как раз и приступаем.