2.10. Возможные формальные возражения против 167

бы десять существенно различных точек зрения на теоретико-множественные допущения, которые в явном виде как допущения не формулируются. Положим, что их не более десяти, и рассмотрим следствия из этого допущения. Это означает, что существует порядка десяти, по сути, различных классов математиков, различаемых по типу рассуждения в отношении бесконечных множеств, который они полагают "очевидно" истинным. Каждого такого математика можно назвать математиком n-го класса, где п изменяется в весьма узком диапазоне - не более десяти значений. (Чем больше номер класса, тем мощнее будет точка зрения принадлежащих к нему математиков.) Вывод принимает в этом случае следующий вид:

Для установления истинности -высказываний математики-люди n-го класса (где п может принимать лишь несколько значений) не применяют только те алгоритмы, какие они полагают обоснованными.

Так получается, потому что доказательство Гёделя(-Тьюринга) можно применять к каждому классу отдельно. (Важно понять, что само гёделевское доказательство предметом спора между математиками не является, а потому если для любого математика п-го класса гипотетический алгоритм n-го класса будет познаваемо обоснованным, то доказательство приведет к противоречию.) Таким образом, как и в случае с , дело вовсе не в существовании какого-то невообразимого количества непознаваемо обоснованных алгоритмов, каждый из которых присущ лишь одному конкретному индивидууму. Мы всего лишь исключаем возможность существования некоторого очень небольшого количества неэквивалентных непознаваемо обоснованных алгоритмов, рассортированных в соответствии с их мощностью и образующих в результате различные "школы мышления". В последующем обсуждении различия между вариантами и либо не будут иметь особого значения, поэтому для упрощения изложения я не стану в дальнейшем их как-то различать и буду использовать для них всех одно общее обозначение .

Q12. Вне зависимости оттого, насколько различных точек зрения придерживаются математики в принципе, на практике те же математики обладают весьма разными способностями к воспроизведению

168 Глава 2

доказательств, разве не так? Не менее различны и их способности к пониманию, позволяющие им совершать математические открытия.

Безусловно, так оно и есть, однако к рассматриваемому вопросу все эти вещи не имеют ну абсолютно никакого отношения. Меня не интересует, какие именно и насколько сложные доказательства математик способен воспроизвести на практике. Еще меньше меня занимает вопрос о том, какие доказательства математик может на практике открыть или какие понимание и вдохновение могут ему в этом способствовать. Здесь мы говорим исключительно о том, доказательства какого типа математики могут, в принципе, воспринимать как обоснованные.

Оговорка "в принципе" используется в наших рассуждениях отнюдь не просто так. Если допустить, что некий математик располагает доказательством или опровержением некоторого -высказывания, то его разногласия с другими математиками касательно обоснованности данного доказательства разрешимы только в том случае, если у этих самых других математиков хватит времени, терпения, объективности, способностей и решимости с вниманием и пониманием воспроизвести всю - возможно, длинную и хитроумную - цепочку его рассуждений. На практике же математики вполне могут отказаться от всех этих трудов еще до полного разрешения спорных вопросов. Однако подобные проблемы к данному исследованию отношения не имеют. Так как, по всей видимости, существует все же некий вполне определенный смысл, в котором то, что в принципе постижимо для одного математика, оказывается равным образом (если отвлечься на время от возражения Q11) постижимо и для другого, - вообще, для любого человека, способного мыслить. Рассуждения бывают весьма громоздкими, а участвующие в них концепции могут показаться чересчур тонкими или туманными, и тем не менее существуют достаточно убедительные основания полагать, что способность к пониманию одного человека не включает в себя ничего такого, что в принципе недоступно другому человеку. Это применимо и к тем случаям, когда для воспроизведения во всех подробностях чисто вычислительной части доказательства может потребоваться помощь компьютера. Возможно, не совсем разумно ожидать, что математик-человек будет лично выполнять все необходимые для такого доказательства вычисления, и все же он, вне всякого