2.1. Теорема Гёделя и машины Тьюринга

В наиболее чистом виде мыслительные процессы проявляются в сфере математики. Если же мышление сводится к выполнению тех или иных вычислений, то математическое мышление, по всей видимости, должно обладать этим свойством в наибольшей степени. Однако, как это ни удивительно, в действительности все происходит с точностью до наоборот. Именно математика дает нам самое явное свидетельство тому, что процессы сознательного мышления включают в себя нечто, не доступное вычислению. Возможно, это покажется парадоксальным, однако для того, чтобы двигаться дальше, нам придется пока с этим парадоксом как-то примириться.

Прежде чем мы начнем, мне бы хотелось хоть как-то успокоить читателя в отношении математических формул, которые встретятся нам в нескольких последующих разделах (§§2.2- 2.5), хотя надо признать, что страхи его не лишены оснований: ведь нам предстоит в какой-то мере уяснить для себя смысл и следствия ни много ни мало самой важной теоремы математической логики - знаменитой теоремы Курта Гёделя. Я привожу здесь очень и очень упрощенный вариант этой теоремы, опираясь, в частности, на несколько более поздние идеи Алана Тьюринга. Мы не будем пользоваться каким бы то ни было математическим формализмом, за исключением простейшей арифметики. Представленное доказательство, вероятно, будет кое-где несколько путаным, однако всего лишь путаным, а ни в коем случае не

112 Глава 2

"сложным" в смысле необходимости каких-то предварительных познаний в математике. Воспринимайте доказательство в любом удобном для вас темпе и не стесняйтесь перечитывать его столько раз, сколько захочется. В дальнейшем (§§ 2.6-2.10) мы рассмотрим некоторые более специфические соображения, лежащие в основе теоремы Гёделя, однако читатель, не интересующийся подобными вопросами, может эти разделы пропустить без ущерба для понимания.

Так что же такое теорема Гёделя? В 1930 году на конференции в Кенигсберге блестящий молодой математик Курт Гёдель произвел немалое впечатление на ведущих математиков и логиков со всего мира, представив их вниманию теорему, которая впоследствии получила его имя. Ее довольно быстро признали в качестве фундаментального вклада в основы математики - быть может, наиболее фундаментального из всех возможных, - я же, в свою очередь, утверждаю, что своей теоремой Гёдель также положил начало важнейшему этапу развития философии разума.

Среди положений, которые со всей неоспоримостью доказал Гёдель, имеется следующее: нельзя создать такую формальную систему логически обоснованных математических правил доказательства, которой было бы достаточно, хотя бы в принципе, для доказательства всех истинных теорем элементарной арифметики. Уже и это само по себе в высшей степени удивительно, однако это еще не все. Многое говорит за то, что результаты Гёделя демонстрируют нечто большее, - а именно, доказывают, что способность человека к пониманию и постижению сути вещей невозможно свести к какому бы то ни было набору вычислительных правил. Иными словами, нельзя создать такую систему правил, которая оказалась бы достаточной для доказательства даже тех арифметических положений, истинность которых, в принципе, доступна для человека с его интуицией и способностью к пониманию, а это означает, что человеческие интуицию и понимание невозможно свести к какому бы то ни было набору правил. Последующие мои рассуждения отчасти имеют целью убедить читателя в том, что вышеприведенное утверждение действительно-следует из теоремы Гёделя; более того, именно на теореме Гёделя основывается мое доказательство неизбежности наличия в человеческом мышлении составляющей, которую никогда не удастся воспроизвести с помощью компьютера (в том смысле, который мы вкладываем в этот термин сегодня).