2.10. Возможные формальные возражения против 169

сомнения, сможет без особого труда понять и проверить каждый отдельный его этап.

Здесь я говорю исключительно о сложности математического доказательства и ни в коем случае не о возможных существенных и принципиальных вопросах, которые могут вызвать среди математиков разногласия в отношении выбора допустимых методов рассуждения. Разумеется, я встречал математиков, утверждавших, что они в своей практике сталкивались с такими математическими доказательствами, которые были совершенно вне их компетенции: "Я уверен, что, сколько бы я ни старался, мне никогда не понять того-то или такого-то; этот метод рассуждения мне не по зубам". В каждом конкретном случае подобного заявления необходимо индивидуально решать, действительно ли данный метод рассуждения в принципе выходит за рамки системы убеждений этого математика - каковой случай мы рассматривали в комментарии к возражению Q11, - или он вообще-то смог бы разобраться в принципах, на которых основано это доказательство, если бы только приложил больше сил и затратил больше времени. Как правило, справедливым оказывается последнее. Более того, источником отчаяния нашего математика чаще всего становится туманный стиль изложения или ограниченные лекторские способности "такого-то", а вовсе не то, что какие-то существенные и принципиальные моменты "того-то" действительно выходят за рамки его способностей. Толковое изложение, на первый взгляд, непонятного предмета чудесным образом устраняет все прежние недоразумения.

Чтобы еще раз подчеркнуть, что я имею в виду, скажу следующее: сам я часто посещаю математические семинары, на которых не слежу (а иногда и не пытаюсь следить) за подробностями представляемых доказательств. Наверное, если бы я сел где-нибудь и обстоятельно изучил эти самые доказательства, я и в самом деле смог бы проследить за мыслью автора - хотя, возможно, это удалось бы мне лишь при наличии дополнительной литературы или устных пояснений, которые восполнили бы возможные пробелы в моем образовании или же в материалах самого семинара. Я знаю, что в действительности я этого делать не стану. У меня почти наверняка не окажется на это ни времени, ни достаточного количества внимания, ни, впрочем, особого желания. Но при этом я вполне могу принять представленный на семинаре результат на веру по всевозможным "несуществен-

170 Глава 2

ным" причинам - например, потому что полученный результат правдоподобно "выглядит", или потому что у лектора надежная репутация, или потому что другие слушатели, которых я считаю более сведущими в таких делах, нежели я сам, этот результат оспаривать не стали. Конечно, я могу ошибиться во всех своих умозаключениях, а результат вполне может оказаться ложным - либо истинным, но никоим образом не следующим из представленного доказательства. Все эти тонкости никак не влияют на ту принципиальную позицию, которую я здесь представляю. Результат может оказаться истинным и адекватно доказанным, и в таком случае я, в принципе, могу проследить за ходом всего доказательства - или же ошибочным, в каковом случае, как уже упоминалось, он нас в данном контексте не интересует (см. §3.2 и § 3.4). Возможные исключения могут составить лишь те случаи, когда представляемый материал касается каких-либо спорных аспектов теории бесконечных множеств или опирается на какой-то необычный метод рассуждения, который может быть признан сомнительным в соответствии с теми или иными математическими воззрениями (что, само по себе, может заинтриговать меня до такой степени, что я впоследствии действительно попытаюсь это доказательство повторить). Как раз такие исключительные ситуации мы обсуждали выше, в комментарии к возражению Q11. Что касается подобных соображений относительно природы математической точки зрения, на практике многие математики могут и не иметь четкого представления о том, каких именно фундаментальных принципов они в действительности придерживаются. Однако, как уже было сказано выше, в комментарии к Q11, если математик, у которого нет определенной позиции в отношении того, следует ли принимать, скажем, некую "аксиому Q", желает проявить осмотрительность, то ничто не мешает ему изложить требующие принятия аксиомы Q результаты в следующем виде: "Из принятия аксиомы Q следует, что...". Разумеется, математики, несмотря на всю их пресловутую педантичность, проявляют в подобных вопросах должную осмотрительность далеко не всегда. Нельзя отрицать и того, что время от времени им удается допускать и вовсе очевидные ошибки. И все же все эти ошибки - если они допущены по недосмотру, а не следуют из тех или иных непоколебимых принципов - являются исправимыми. (Как упоминалось ранее, возможность действительного применения математиками в качестве основы для своих решений необос-