2.10. Возможные формальные возражения против 179

алгоритм не завершается"), что в точности совпадает с формой рассматриваемых нами -высказываний. Вопрос: какие средства мы полагаем допустимыми в процессе получения подобных утверждений? Каковы, наконец, те математические процедуры, в которые мы действительно верим и применяем при установлении математических истин? Такая система убеждений, при условии, что они достаточно разумны, никак не может быть эквивалентна всего лишь убежденности в обоснованности и непротиворечивости формальной системы, какой бы эта формальная система ни была.

Q16. Заключение об истинности высказывания G (F) для непротиворечивой формальной системы F мы делаем, исходя из допущения, что те символы системы F, которые, как мы полагаем, служат для представления натуральных чисел, действительно представляют натуральные числа. Окажись на их месте другие числа - скажем, некие экзотические "сверхнатуральные" числа, - мы вполне могли бы обнаружить, что высказывание G (F) ложно. Откуда мы знаем, что в нашей системе F мы имеем дело с натуральными, а не со "сверхнатуральными" числами?

В самом деле, конечного аксиоматического способа убедиться в том, что "числа", о которых идет речь, и есть те самые подразумеваемые натуральные числа, а не какие-то посторонние "сверхнатуральные", не существует . Однако, в некотором смысле, в этом и состоит вся суть гёделевского рассуждения. Неважно, какую именно схему аксиом формальной системы F мы построим, пытаясь охарактеризовать натуральные числа, - одних лишь правил системы F будет недостаточно, чтобы определить, является ли высказывание G (F) действительно истинным или же ложным. Полагая систему F непротиворечивой, мы знаем, что в высказывании G (F) подразумевается все же наличие некоего истинного смысла. Это, однако, происходит лишь в том случае, если символы, составляющие в действительности формальное выражение, обозначаемое "G(F)>>, имеют подразумеваемые значения. Если эти символы интерпретировать как-либо иначе, то полученная в результате интерпретация "G (F)" вполне может оказаться ложной.

12*

180 Глава 2

Для того чтобы разобраться, откуда берутся все эти двусмысленности, рассмотрим новые формальные системы F* и F**, где F* получается путем присоединения к аксиомам системы F высказывания G (F), a F** - путем аналогичного присоединения высказывания ~ G(F). Если система F обоснованна, то обе системы F* и F** непротиворечивы (т. к. высказывание G (F) истинно, а ~ G (F) из правил системы F) вывести невозможно. При этом в случае подразумеваемой (или стандартной) интерпретации символов F из обоснованности системы F следует, что система F* обоснованна, а система F** - нет. Впрочем, одним из характерных свойств непротиворечивых формальных систем является возможность отыскания так называемых нестандартных реинтерпретаций символов таким образом, что высказывания, которые являются ложными в стандартной интерпретации, оказываются истинными в нестандартной; соответственно, в такой нестандартной интерпретации обоснованными могут быть системы F и F**, а система F* обоснованной не будет. Можно вообразить, что такая реинтерпретация может повлиять на смысл логических символов (таких как "~" и "&", которые в стандартной интерпретации означают, соответственно, "не" и "и"), однако в данном случае нас занимают символы, обозначающие неопределенные числа , и значения применяемых к ним логических кванторов (V, 3). В стандартной интерпретации символы означают, соответственно, "для всех натуральных чисел ж" и "существует такое натуральное число х, что"; в нестандартной же интерпретации эти символы могут относится не к натуральным числам, а к числам какого-то иного вида с иными свойствами упорядочения (такие числа действительно можно назвать "сверхнатуральными", или даже "ультранатуральными", как это сделал Хофштадтер ).

Дело, однако, в том, что мы-то знаем, что такое на самом деле представляют собой натуральные числа, и для нас не составит никакого труда отличить их от каких-то непонятных сверхнатуральных чисел. Натуральные числа суть самые обыденные вещи, обозначаемые, как правило, символами О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, - С этой концепцией мы знакомимся еще в детском возрасте и легко отличим ее от надуманной концепции сверхнатурального числа (см. § 1.21). Есть что-то таинственное в том, что мы, похоже, и впрямь обладаем каким-то инстинктивным пониманием действительного смысла понятия натурального числа. Все, что