5.3. Магические додекаэдры

381

Рис. 5.3. Свойства додекаэдров, гарантируемые компанией "Квинтэссенциальные Товары", (а) Если мы с коллегой ВЫБИРАЕМ противоположные вершины додекаэдра, то звонок может зазвенеть только при нажатии диаметрально противоположных кнопок, независимо от порядка нажатия, (б) Если мы ВЫБИРАЕМ одинаковые вершины, то при нажатии какой-то из шести кнопок звонок непременно зазвенит.

шине, - независимо от порядка, в каком нам заблагорассудится упомянутые кнопки нажимать;

(б) если же в качестве соответствующих ВЫБРАННЫХ вершин мы с коллегой выберем одинаковые вершины (т. е. те, направления на которые из центров додекаэдров совпадают), звонок должен зазвенеть при нажатии, по крайней мере, на одну кнопку из наших общих шести.

382 Глава 5

Теперь я попробую сделать кое-какие выводы о правилах, которым должен подчиняться мой додекаэдр (независимо от того, что там происходит на альфе Центавра), на основании того простого факта, что "Квинтэссенциальные Товары" оказываются каким-то образом способны давать столь нерушимые гарантии, не имея ни малейшего представления о том, какие именно кнопки мне или моему коллеге придет в голову нажать. В качестве ключевого допущения предположим, что никакой дальнодействующей "связи" между моим додекаэдром и додекаэдром моего коллеги нет. Будем считать, что после того, как наши додекаэдры покинули "сборочный цех", они существуют раздельно и совершенно независимо друг от друга. Выводы следующие (рис. 5.4):

НЕ ВЕРНО НЕ ВЕРНО

Рис. 5.4. Предположим, что наши додекаэдры представляют собой независимые (никак не связанные друг с другом) объекты. Тогда каждая кнопка на моем додекаэдре заведомо является либо звонком (БЕЛЫЕ кнопки), либо пустышкой (ЧЕРНЫЕ кнопки), при этом две соседние кнопки не могут обе быть БЕЛЫМИ, и никакой набор из шести кнопок при вершинах, соседних с двумя антипо-дальными вершинами, не может состоять из одних ЧЕРНЫХ кнопок.

(в) каждая из кнопок при вершинах моего додекаэдра заведомо является либо звонком (обозначим такие вершины БЕЛЫМ цветом), либо пустышкой (обозначим ЧЕРНЫМ), при этом ее "звонковость" никак не зависит от того, нажимаю я ее

первой, второй или третьей из кнопок при вершинах, соседних с ВЫБРАННОЙ;

5.3. Магические додекаэдры 383

(г) две "следующие соседние" кнопки не могут обе быть звон

ками (т. е. БЕЛЫМИ кнопками);

(д) никакой набор из шести кнопок при вершинах, соседних с

двумя антиподальными вершинами, не может состоять из

одних пустышек (т. е. ЧЕРНЫХ кнопок)

(Антиподальными я здесь называю диаметрально противоположные вершины одного додекаэдра.)

Утверждение (в) мы выводим из того факта, что вполне может случиться так, что мой коллега выберет в качестве ВЫБРАННОЙ вершины вершину, диаметрально противоположную моей ВЫБРАННОЙ вершине; по крайней мере, "Квинтэссенци-альным Товарам" неоткуда узнать заранее, что он ее не выберет (вот она, контрфактуальность!). Таким образом, если в результате какого-либо из моих нажатий зазвенит звонок, то кнопка при диаметрально противоположной вершине додекаэдра моего коллеги (если он нажмет ее первой из трех) тоже должна быть звонком. Так должно быть вне зависимости от того, в каком порядке я решил нажимать свои собственные три кнопки, а значит (исходя из допущения об отсутствии "связи" между додекаэдрами), мы с полной уверенностью можем сказать, что "Квинтэссенциальные Товары" изначально сделали кнопку при этой конкретной вершине звонком (в каком бы порядке я ни нажимал на свои кнопки), дабы избежать противоречия со свойством (а).

Аналогичным образом, из свойства (а) выводится утверждение (г). Предположим, что обе кнопки при двух следующих соседних вершинах являются звонками. Какую бы из этих кнопок я ни нажал первой, зазвенит звонок. Предположим теперь, что ВЫБРАННОЙ вершиной я назначил вершину, соседнюю им обеим. В этом случае порядок, в котором я нажимаю на свои кнопки, уже имеет значение, что противоречит свойству (а), если ВЫБРАННАЯ вершина додекаэдра моего коллеги противоположна ВЫБРАННОЙ вершине моего додекаэдра (а уж возможность такого совпадения "Квинтэссенциальные Товары" наверняка должны были учесть).

Наконец, учитывая то, что мы уже выяснили, мы легко выведем утверждение (д) из свойства (б). Предположим, что мы с коллегой выбираем в качестве ВЫБРАННЫХ одинаково расположенные вершины своих додекаэдров. Если ни одна из моих трех кнопок, соседних с ВЫБРАННОЙ вершиной, не является

384 Глава 5

звонком, то, согласно (б), звонком должна оказаться одна из трех соответствующих кнопок на додекаэдре моего коллеги. Из (а) следует, что кнопка моего додекаэдра, противоположная звонку на додекаэдре моего коллеги, также должна быть звонком. Получается (д).

А теперь, собственно, головоломка. Попробуйте окрасить каждую вершину додекаэдра в БЕЛЫЙ или ЧЕРНЫЙ цвет, строго следуя правилам (г) и (д). Очень скоро вы обнаружите, что как бы вы ни старались, ничего хорошего из этого не получается. В таком случае вот вам головоломка получше: докажите, что раскрасить вершины додекаэдра таким образом невозможно. Для того, чтобы дать всякому достаточно заинтригованному читателю шанс найти решение самостоятельно, я скромно помолчу до Приложения В (с. 467), где и приведу свое (боюсь, не очень изящное) доказательство того, что подобная раскраска действительно невозможна. Может быть, кому-то из читателей придет в голову что-нибудь более остроумное.

Неужели? Неужели, впервые за миллион столетий, "Квинт-эссенциальные Товары" допустили наконец ошибку? Убедившись, что раскрасить вершины моего додекаэдра в соответствии с правилами (в), (г) и (д) невозможно, и ни на секунду не забывая о величине ожидающей нас ПРЕМИИ, мы, подпрыгивая на месте от нетерпения, ждем четыре (приблизительно) долгих года, по истечении которых приходит сообщение от моего коллеги, в котором подробно описано, какие он нажимал кнопки и когда, и не звенел ли звонок в его додекаэдре. Ознакомившись с сообщением, мы впадаем в уныние, а все наши надежды на ПРЕМИЮ тают как снег в жаркий день, потому что "Квинтэссенциальные Товары" снова подтвердили свою безупречную репутацию!

Рассуждения, приведенные в Приложении В (с. 467), однозначно демонстрируют, что в рамках любой классической модели просто-напросто не существует способа построить магические додекаэдры, обладающие теми свойствами, на которые "Квинтэссенциальные Товары" с такой легкостью выдают безусловную гарантию, - не существует, если исходить из допущения, что по окончании сборки два додекаэдра представляют собой абсолютно отдельные, никак не связанные друг с другом объекты. Ибо никто не в состоянии гарантировать наличие у двух додекаэдров требуемых свойств (а) и (б) без того, чтобы эти додекаэдры не были неким таинственным образом "связаны" друг с другом.