5.7. Унитарная эволюция u 405

Пользуясь привычным и понятным языком, невозможно объяснить, что "означает" фраза "в данный момент времени электрон находится в состоянии суперпозиции двух положений с комплексными весовыми коэффициентами и г". На настоящем этапе нам придется просто принять все это как должное; именно такими описаниями мы и вынуждены довольствоваться при рассмотрении квантовых систем. Такие суперпозиции, как сообщают естествоиспытатели, играют важную роль в действительной конструкции нашего микромира. Квантовый мир на самом деле ведет себя именно таким необычным и непостижимым образом, а нам повезло набрести на этот простой факт. А от фактов никуда не уйти - имеющиеся в нашем распоряжении описания, в соответствии с которыми эволюционирует микромир, действительно являются не только математически точными, но и, более того, целиком и полностью детерминированными*.

5.7. Унитарная эволюция u

Таким детерминированным описанием является, например, унитарная эволюция (обозначим ее буквой U). Эта эволюция описывается точными математическими уравнениями, однако нам не так уж важно знать, как именно эти уравнения выглядят. Нам понадобятся лишь некоторые из свойств эволюции U. В так называемом "шрёдингеровом представлении" U задается уравнением Шрёдингера, которое характеризует скорость изменения квантового состояния (или волновой функции) во времени. Это квантовое состояние (обычно обозначаемое греческой буквой или так: представляет собой полную взвешенную сумму (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возможных альтернатив, доступных данной квантовой системе. Таким образом, для приведенного выше примера с двумя альтернативными положениями электрона квантовое состояние записывается в виде следующей комбинации комплексных чисел:

где w и z - комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю). Комбинацию мы называем линейной

суперпозицией состояний Величина (равно как

и часто называется вектором состояния. Кванто-

406 Глава 5

вые состояния (или векторы состояния) могут записываться и в более общем виде - например, так:

где - комплексные числа (причем хотя бы одно из

них не равно нулю), а символизируют различные

возможные положения, которые может занимать частица (или какое-либо иное возможное свойство частицы - например, ее спиновое состояние; см. §5.10). Обобщая далее, можно допустить выражение волновой функции или вектора состояния в виде бесконечной суммы (поскольку число положений, которые может занимать точечная частица, бесконечно велико); впрочем, подобные случаи нас пока не занимают.

Здесь необходимо упомянуть об одной технической особенности квантового формализма. Дело в том, что значимыми являются только отношения комплексных весовых факторов. Подробнее об этом я расскажу позднее. А пока мы просто отметим, что для любого отдельно взятого вектора состояния верно следующее: любое комплексное кратное (где описывает то же самое физическое состояние, что и . Таким образом, например, физические состояния и совершенно идентичны. Соответственно, физиче-

ский смысл имеет отношение , но не отдельные числа и z.

Наиболее фундаментальным свойством уравнения Шрёдин-гера (а значит, и эволюции U) является его линейность. Иначе говоря, если у нас есть два состояния (скажем, ) и урав-

нение Шрёдингера, согласно которому по прошествии времени t состояния эволюционируют в новые состояния, соот-

ветственно, , то любая линейная суперпозиция} +

+ за то же время t неминуемо эволюционирует в суперпозицию . Для обозначения эволюции за время t воспользуемся символом . Тогда линейность подразумевает следующее: если

и

то имеет место и эволюция

Это рассуждение применимо (разумеется) и к линейным суперпозициям трех и более индивидуальных квантовых состояний: