13.4. Неправильное определение элементарного числа звуковых колебаний

Далее авторы [8] вычисляют число собственных колебаний в спектре звуковых волн с

абсолютной величиной волнового вектора в интервале и данной поляризацией, используя для этого неправильное выражение (2.10)

. (13.6)

Полагая для одной из трёх независимых поляризаций и для двух других , находят, что всего в интервале имеется следующее число колебаний

(13.7)

Они вводят понятие средней скорости звука

(13.8) и записывают выражение (13.7) так

(13.9)

13.5. Неправильное определение средней скорости звуковой волны

Определение средней скорости фонона дано в (6.26). Такое же определение можно дать и для средней скорости звуковой волны. Отметим, что то определение средней скорости звука, которое даётся авторами в выражении (13.8), не существует. Действительно, согласно

математическому определению средней величины имеем

, (13.10)

где - число повторений величины . Следовательно, согласно (13.8) имеем

(13.11)

Таким образом, в левой части (13.8) есть не что иное как среднее от обратного куба скорости. Но по всем правилам математики

. (13.12)

Следовательно, авторы [8], на самом деле, получают элементарное число квантовых

состояний фонона (упругих волн) в следующей форме

(13.13)

а не выражение, полученное в (13.9), как они считают.

13.6. Термодинамические характеристики твёрдого тела при низких температурах

Заменив суммирование в (13.1) на интегрирование по , авторы c учётом (13.13) на самом деле получают

(13.14)

Производя в (13.14) дифференцирование по частям, они получают

(13.15)

где . Из сказанного выше следует, что авторы работы [8] при низких температурах рассматривают твёрдое тело как некоторый идеальный газ, состоящий из звуковых волн с различными и . Согласно [10] интеграл в (13.15) равен , поэтому авторы получают свободную энергию твёрдого тела

. (13.16)

Далее они находят энтропию твёрдого тела [23]

, (13.17)

его внутреннюю энергию

(13.18)

и теплоёмкость

. (13.19)

Причём, авторы [8] в (13.19) пишут теплоёмкость просто как (не различая и ), считая, что при низких температурах разность есть величина более высокого порядка малости, чем сама теплоёмкость. Последнее замечание авторов неправильно, так как твёрдые тела рассматриваются ими в гармоническом приближении (в приближении линейной теории упругости) и согласно пункту 6.20 при этом оказывается, что , а ввести в этом приближении понятие невозможно. Таким образом, в (13.19) авторами получено всё-таки .