12. Двухкомпонентная модель вырожденного твёрдого тела

12.1. Квазиклассическая модель твёрдого тела

При нахождении термодинамических характеристик вырожденного фононного газа (твёрдого тела при температурах ниже температуры вырождения) , , , , в части 6 интегрирование в соответствующих формулах по квантовому числу проводилось от 0 до ∞. Последнее согласно определению в пункте 3.20 означает, что изучение фононного газа (твёрдого тела) проводилось в квазиклассическом приближении. Таким образом, в части 6 была развита квазиклассическая модель твёрдого тела. Как показано выше, фононный газ представляет собой также идеальный бозе-газ, но уже состоящий из квазичастиц (плоских упругих волн). Недостатки квазиклассической модели идеального бозе-газа, состоящего из частиц, масса покоя которых не равна нулю, были исследованы в части 10. Очевидно, они присущи также и фононному газу при рассмотрении его в квазиклассическом приближении.

12.2 Конденсации Бозе-Эйнштейна в фононном газе в случае квазиклассического приближения

При рассмотрении идеального фононного газа в квазиклассическом приближении нижний уровень энергии фонона как бозона (пункт 10.2) полагается равным нулю. Как известно, явление накапливания бозонов на энергетическом уровне при понижении температуры ниже температуры его вырождения называют конденсацией Бозе-Эйнштейна [8]. «Осевшие» на нижний уровень фононы не вносят никакого вклада ни в внутреннюю энергию идеального фононного газа, ни в его давление . Нетрудно видеть (часть 6), что при

(12.1)

Из (12.1) следует, что плотность числа частиц , плотность внутренней энергия , давление , вырожденного идеального фононного газа при абсолютном нуле обращаются в нуль, т.е. вырожденный идеальный фононный газ при абсолютном нуле просто исчезает. Такая конденсации Бозе-Эйнштейна в идеальном фононном газе просто абсурдна. Для изучения поведения идеального фононного газа (твёрдого тела) при температурах ниже температуры вырождения необходимо изменить вид модели твёрдого тела.

12.3. Физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа в случае квазиклассического приближения

Нетрудно видеть, что при температуре вырождения , которая получена в (6.42), все фононов имеют . Отсюда вытекает физический смысл температуры вырождения идеального фононного газа: это температура, при которой уже не существует ни одного бозона с энергией ε = 0.

12.4. Квазиквантовое приближение твёрдого тела

При абсолютном нуле частицы твёрдого тела могут совершать только колебания около их равновесных положений. Таким образом, моделью твёрдого тела при абсолютном нуле является совокупность независимых трёхмерных квантовых осцилляторов (колеблющихся с частотами ω_i [42])

(12.2)

причём квантовые числа , т.е. - трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией . Приближение, сделанное в этой модели твёрдого тела, назовём по аналогии с приближением, сделанным для бозе-газа в части 10, квазиквантовым. Однако следует отметить существенную разницу в этом приближении: в части 10 оно связано с тем, что нижний уровень бозона-частицы при оказывался не равным нулю, а в данном случае квантовое число , но существует не равная нулю энергия нулевых колебаний.