2.3. Переход от суммирования по квантовому числу к интегрированию по классическому фазовому пространству
Таким образом, формулы в (2.2) – (2.4) принимают следующий вид
±
=
±
[(
±)(
(2.11)
±
=
±
[(
±)(
(2.12)
[(
±
–
)(
}
(2.13)
В части 3 будет показано, что выражение (2.10) некорректно.
2.4. Расчётные формулы для определения термодинамических характеристик идеального бозе-газа
Теория идеального бозе-газа, состоящего из элементарных частиц, развита в работах [8], [9]. Выражая модуль импульса p через энергию частицы согласно (2.9) и учитывая, что
для идеального бозе-газа
ε
(2.14)
формулу (2.11) можно переписать так [9]
[(ε
)(
(2.15)
Вводя новую переменную интегрирования
,
уравнение (2.15) можно
представить в виде
=
[z
(2.16) а уравнение (2.12) можно записать
так
[z
(2.17)
2.5. Определение температуры вырождения идеального бозе-газа, состоящего из частиц
При понижении температуры химический
потенциал
частиц идеального бозе-газа, оставаясь
отрицательным, уменьшается по абсолютной
величине и при некоторой температуре
обращается в нуль. Температуру
,
при которой для частиц идеального
бозе-газа
,
назовём температурой его вырождения.
Определим эту температуру. Для этого
необходимо положить в (2.15)
,
– число бозонов в невырожденном
бозе-газе),
[9]. Получим
(2.18) Интеграл в (2.18) равен [10]
(2.19) где согласно [10]
(2.20) Подставляя
(2.20) в (2.18), получим температуру вырождения
идеального бозе-газа
(2.21)
2.6. Определение зависимости числа бозонов от температуры в вырожденном идеальном бозе-газе
Заметим, что как только в идеальном
бозе-газе его температура стала равной
температуре его вырождения, то химический
потенциал его частиц остаётся равным
нулю при всех
вплоть до
.
Такой идеальный бозе-газ мы назовём
вырожденным. Число частиц в таком
вырожденном идеальном бозе-газе
уменьшается с понижением в нём температуры.
Действительно, полагая в (2.18)
,
где
,
получим
(2.22)
Разделив (2.18) на (2.22), получим
(2.23)
Из (2.23) следует, что число бозонов в
вырожденном идеальном бозе-газе с
понижением температуры в нём уменьшается
по закону
.
Из (2.23) также вытекает, что вырожденный
идеальный бозе-газ представляет собой
открытую однокомпонентную объёмную
систему (систему с переменным числом
частиц). Уравнение (2.23) можно переписать
иначе, подставив в него найденную выше
температуру вырождения
(2.24)