3.18. Дифференциальная форма распределений Бозе и Ферми

Формулу (3.64) можно представить в дифференциальной форме, учитывая, что в ней и в квазиклассическом случае являются непрерывными величинами. А именно, дифференцируя выражение (3.64), получим [18]

(3.68) Выражение (3.68) устанавливает связь между элементарным числом квантовых состояний бесспиновой частицы, находящейся в объёме , и величиной модуля импульса , если квантовое число для одномерного движения заключено в интервале , а величина импульса в интервале . Это выражение не совпадает с выражением в (2.10), которое следует считать неправильным, так как оно не отражает истинную связь трёхмерного квантового фазового пространства с шестимерным квазиклассическим. Если частица имеет спин , то выражение (3.68) следует переписать так

(3.69)

где - число проекций спина на выбранное направление. С учётом (3.69)

выражения (2.1) можно представить в виде

3 , . (3.70)

Уравнения (3.70) представляют собой распределения Бозе (знак минус) и Ферми (знак плюс), записанные в дифференциальной форме. Заметим, что первое распределение записано не в квантовой, а в квазиквантовой форме, так как ферми- и бозе-частицам приписано только одно квантовое число вместо трёх , , в квантовом случае [18]. Второе распределение в (3.70) представляет собой обычное квазиклассическое распределение.

3.19. Вычисление термодинамических характеристик для идеальных ферми- и бозе-газов в квазиклассическом приближении

Выражения (2.2) – (2.4) с учётом (3.70) можно переписать так, заменив в них суммирование по квантовому числу одномерного движения частицы на интегрирование по этому квантовому числу

3 (3.71)

3 (3.72)

(3.73)

где согласно (3.25) в случае одномерного движения частицы

. (3.74)

3.20. Квазиклассическое приближение

Заметим, что в формулах (2.2) – (2.4) суммирование проходило по квантовому числу причём значение изменялось от 1 до ∞. Следовательно, в выражениях (3.71) – (3.73) казалось бы необходимо производить интегрирование по квантовому числу не от 0 до ∞, а от 1 до ∞ . Однако это делать нельзя, так как согласно (3.64), если классический импульс частицы изменяется от 0 до ∞, то необходимо ввиду непрерывности и , чтобы и квантовое число также изменялось от 0 до ∞ . Такое приближение, при котором величина квантового числа непрерывно изменяется от 0 до ∞, назовём квазиклассическим. Следовательно, все термодинамические характеристики _±, _± , … для идеальных бозе- и ферми-газов в формулах (3.71) – (3.73) записаны в квазиклассическом приближении. В работе [40] показано, что такое квазиклассическое приближение не позволяет правильно объяснить явление конденсации Бозе-Эйнштейна в идеальном бозе-газе, состоящем из частиц, масса покоя которых не равна нулю. Для этого требуется уже вводить квазиквантовое (как бы квантовое) приближение, при котором величина квантового числа должна изменяться уже от 1 до ∞. После установления связи трёхмерного квантового фазового пространства с шестимерным квазиклассическим в (3.64) можно найти ошибку, сделанную в формулах (2.11) – (2.13). А именно, сравнивая выражение (2.10) с выражением (3.68), видим, что в формулах (2.11) – (2.13) число квантовых состояний завышено в раз.