6.6. Определение числа квантовых состояний «продольного» и «поперечного» фононов

Согласно (4.73) число квантовых состояний плоской волны одной природы с учётом того, что и можно записать так

(6.27) На самом деле в твёрдых телах существуют два типа упругих плоских волн: поперечные и продольные, скорости которых различны (соответственно и ), различны и их поляризации и . Учитывая их поляризации, выражение (6.27) можно переписать так

(6.28)

(6.29) Здесь . Сложив эти уравнения, получим

(6.30) Будем считать, что вместо этих двух видов плоских упругих волн в твёрдом теле распространяются плоские волны только одной природы, скорость которых равна (уравнение (6.26)). Тогда полагая в (6.30) и получим

(6.31) где

(6.32)

Очевидно, что доли в числе плоских упругих волн продольных и поперечных плоских упругих волн равны соответственно

(6.33) Сравнивая (6.27) с (6.31), видим, что для того, чтобы получить число плоских упругих волн или фононов одной природы, необходимо в (6.27) положить и .

6.7. Определение температуры вырождения идеального фононного газа

Для вычисления термодинамических характеристик идеального фононного газа

уравнения в (2.2) – (2.4) перепишем с учётом (6.31) и того, что фононы являются бозонами

exp [(β n – μ)( ] (6.34)

= [(β n – μ) ( (6.35)

T [( μ – β n) ( (6.36) где для фонона

(6.37) Для нахождения температуры вырождения идеального фононного газа [26], как и в пункте 2.5, положим в (6.34) , ( - число фононов в невырожденном идеальном фононном газе), . Получим

exp[β n ( ] (6.38) Введём в (6.38) новую переменную интегрирования . Тогда

(6.39) Согласно [10] интеграл в выражении (6.39)

(6.40) Следовательно, выражение в (6.39) можно записать так

(6.41)

Из (6.41) находим температуру вырождения фононного газа

. (6.42)