3.12. Классическое фазовое пространство

В классической механике состояние частицы полностью определяется заданием трёх

её координат , , относительно выбранной прямоугольной системы координат и трёх проекций , , на оси этой системы координат её импульса . Для описания состояния частицы в классической физике вводится шестимерная прямоугольная система координат, по осям которой откладываются величины , , , , , . Это шестимерное пространство называют классическим фазовым пространством частицы. Все точки в этом классическом фазовом пространстве представляют возможные состояния частицы. Согласно классической физике все величины , , , , , являются непрерывными. Элементарный фазовый объём в классическом фазовом пространстве

(3.58) Каким бы он малым не был ввиду непрерывности , , , , , , в нём всегда находится бесконечное число фазовых точек, а, следовательно, и бесконечное число состояний частицы. Поэтому в классической физике невозможно ввести понятие числа

состояний частицы (оно всегда равно бесконечности).

3.13. Двумерное классическое фазовое пространство частицы

Пусть движение частицы одномерно, т.е. она, например, движется в положительном направлении оси . Тогда классическое фазовое пространство представляет собой двумерное пространство, т.е. плоскость, на которой введена система координат , по осям которой откладываются координата и модуль её импульса . Элементарный фазовый объём такого двумерного фазового пространства будет

(3.59)

Пусть одномерное движение частицы заключено в пространственном интервале ( ).

Тогда интегрируя (3.59), получим

(3.60)

3.14. Двумерное квазиклассическое фазовое пространство частицы

Сравнивая (3.60) и (3.54) видим, что для того, чтобы число состояний частицы в классическом фазовом пространстве было конечным, необходимо потребовать выполнения следующего условия

(3.61) т.е. ввести в классическое фазовое пространство постоянную Планка . Выражение в (3.61) означает, что каждому состоянию в двумерном классическом фазовом пространстве следует поставить в соответствие уже не фазовую точку , а некоторый минимальный фазовый «объём» , который в случае двумерного фазового пространства является площадью . Все фазовые точки , близкие к данной точке , т.е. лежащие на площади , окружающей эту фазовую точку , представляют одно и то же состояние нашей частицы, которое изображается фазовой точкой . Следует отметить, что введение в классическое фазовое пространство квантовой величины не позволяет уже считать его классическим фазовым пространством. Мы будем его называть уже квазиклассическим (как бы классическим).