6.15. Внутренняя энергия идеального фононного газа при высоких температурах

Разделив (6.60) на (6.59) и введя новую переменную интегрирования , получим

(6.62) так как согласно [10]

(6.63) Из (6.62) следует связь между равновесным давлением и плотностью внутренней энергии

идеального фононного газа

(6.64) Сравнивая (6.64) с (1.14), видим, что для идеального газа, состоящего из фононов, соотношение между равновесным давлением, создаваемым им, и плотностью внутренней энергии такое же, как и для идеального газа, состоящего из фотонов. Нетрудно видеть из (6.64), что фонону, как и фотону, следует приписать число степеней свободы равное шести. Подставляя в (6.64) значение из (1.2), получим внутреннюю энергию идеального фононного газа при высоких температурах

(6.65)

6.16. Теплоёмкость при постоянном объёме невырожденного идеального фононного газа при высоких температурах

Из (1.16) и (6.65) по определению теплоёмкости при изохорическом процессе следует, что

(6.66) Уравнение в (6.66) подтверждает закон П. Дюлонга и А. Пти, который справедлив для большинства твёрдых тел с простой кристаллической решёткой.

6.17. Химический потенциал фонона при высоких температурах

Введя новую переменную интегрирования , где , уравнение (6.58) можно представить так

[– μ ( = (6.67) Интегрируя (6.67), получим

ln (6.68) Учитывая (6.42), формулу в (6.68) можно записать ещё так

(6.69) Очевидно, что при высоких температурах химический потенциал представляет собой очень большую отрицательную величину.

6.18. Энтропия идеального фононного газа при высоких температурах

Комбинируя известные формулы и , получим

(6.70) Подставляя в (6.70) выражение для химического потенциала из (6.69), получим

(6.71)