3.5. Собственные волновые функции и собственные значения операторов

Физическим величинам , , в квантовой механике соответствуют следующие

операторы

ħ , ħ , ħ . (3.29)

Нетрудно убедиться, что для оператора собственными функциями является система функций , а для операторов , соответственно системы функций , , т.е.

(3.30)

(3.31)

(3.32)

где собственные значения , , согласно (3.19)

(3.33)

3.6. Собственные функции и собственные значения операторов Гx, Гy, Гz

Введём следующие операторы [18]

Г_x ħ L , (3.34)

Г_y ħ L , (3.35)

Г_z ħ L , (3.36)

Так как операторы Г_x, Г_y, Г_z отличаются от операторов соответственно , ,

только коэффициентом , то у этих операторов должны быть одинаковые системы собственных функций, т.е.

Г_x (3.37)

Г_y (3.38)

Г_z (3.39) Из (3.37) – (3.39) следует, что собственные значения операторов Г_x, Г_y, Г_z представляют собой три дискретных множества

(3.40)

(3.41)

(3.42)

3.7. Собственные функции и собственные значения операторов состояний частицы

Введём операторы , , состояний частицы следующим образом

Г_x (2π , (3.43)

Г_y (2π , (3.44)

Г_z (2π , (3.45) Так как операторы , , отличаются от операторов Г_x, Г_y, Г_z только коэффициентом , то у этих операторов должны быть одинаковые системы собственных функций

(3.46)

(3.47)

(3.48) Из (3.46) – (3.48) следует, что собственные значения операторов , , представляют собой три дискретных множества

(3.49)

(3.50)

(3.51)

3.8. Одномерные пространства квантовых состояний частицы , ,

Выберем теперь не связанные друг с другом оси , , и будем откладывать на них от начала осей в их положительных направлениях величины из (3.49) – (3.51). Нетрудно видеть, что множества по осям , , представляют собой соответственно три одномерных дискретных пространства , , квантовых состояний частицы. Последние соответствуют одномерным движениям частицы соответственно в положительных направлениях осей , , . Так (3.49) представляет собой одномерное квантовое пространство состояний частицы при её движении по оси . Действительно, так как в квантовой механике состояние частицы при её одномерном движении определяется волновой функцией , то, очевидно, квантовое число определяет именно ту волновую функцию, которая и описывает данное состоянии частицы. Расстояние между точками и есть длина отрезка в пространстве квантовых состояний , который представляет собой «объём» в этом одномерном пространстве квантовых состояний, причём, очевидно, что

(3.52) Величина этого «объёма» в одномерном пространстве квантовых состояний согласно (3.52) определяет число квантовых состояний частицы при её одномерном движении.