7.2. Определение внутренней энергии твёрдого тела

Очевидно, что внутренняя энергия твёрдого тела согласно (7.1) и (7.5)

(7.6) Затем Дебай вводит характеристическую температуру (температура Дебая)

(7.7)

Вводя в (7.6) новую безразмерную переменную , Дебай получает следующее выражение для внутренней энергии твёрдого тела

(7.8) Используя обозначение , он переписывает выражение в (7.8) так

(7.9)

7.3. Определение теплоёмкости при постоянном объёме

Дифференцируя выражение в (7.9) по при постоянном объёме , Дебай получает с учётом того, что

(7.10)

выражение теплоёмкости при постоянном объёме

(7.11)

7.4. Исследование теплоёмкости cv при высоких и низких температурах

При высоких температурах и, следовательно,

(7.12)

Подставляя (7.12) в (7.11), Дебай получает, что при

(7.13) т.е. выполняется закон Дюлонга – Пти. При низких температурах и согласно [10]

(7.14) Поэтому Дебай получает кубическую зависимость теплоёмкости при постоянном объёме от температуры для твёрдых тел при низких температурах

(7.15)

7.5. Замечание по поводу нахождения Дебаем максимальной частоты упругих колебаний

В случае бесструктурного твёрдого тела в нём могут наблюдаться бесконечное число упругих колебаний с частотой в интервале от 0 до ∞ в квазиклассическом случае (уравнение (6.21)). Для твёрдых тел, имеющих структуру, ситуация резко изменяется [26], [35]. А именно, необходимо исключить из рассмотрения частоты, соответствующие тем длинам упругих волн, у которых длина волны меньше среднего расстояния между частицами твёрдого тела, так как такие упругие колебания в твёрдом теле не могут быть осуществлены (пункт 6.4). Дебай понимает это и в своей работе [33] замечает, что для больших частот упругих колебаний длина волны становится сравнимой со средним расстоянием между частицами твёрдого тела и поэтому формула (7.5) в этом случае становится лишь приблизительной. Однако он вполне допускает эту ошибку, утверждая, что она незначительна. Покажем, что это далеко не так. Следуя работе [8], представим так

(7.16) где определяется из уравнения (6.26). Заметим, что такое представление в (7.16) является согласно пункту 6.19 не совсем законным, но на качественные расчёты это не влияет. Очевидно, что

(7.17) Так как все расчёты у Дебая сделаны в сферической системе координат, то имеет смысл ввести средний радиус расстояния между частицами твёрдого тела следующим образом

(7.18)

Откуда средний диаметр

(7.19) Для того, чтобы исключить все невозможные частоты упругих колебаний в твёрдом теле, имеющем структуру, необходимо согласно пункту 6.4 в (7.17) положить , по крайней мере, равной

(7.20) Из (7.17) и (7.20) следует, что

(7.21) Частота, полученная в (7.21), уже не совпадает с частотой Дебая в (7.4). Найдём теперь максимальное число упругих колебаний . Согласно (7.2), (7.21) и (7.16) имеем

(7.22) По теории Дебая число упругих колебаний не может быть больше . На самом же деле, результат, полученный в (7.22), оказывается завышенным более чем в два раза. Это говорит о том, что число возможных упругих колебаний (7.2) найдено Дебаем неправильно.