6.21. Следствия гармонического приближения

Можно показать, что в случае параболического вида потенциальной энергии взаимодействия между частицами среднее расстояние между ними с повышением температуры твёрдого тела не изменяется. Таким образом, твёрдые тела, потенциальная энергия которых рассматривается в гармоническом приближении, при нагревании не расширяются. Для того, чтобы твёрдые тела при нагревании расширялись, необходимо в силу взаимодействия двух частиц ввести квадратичный член относительно - ангармонический член. Но тогда в потенциальной энергии взаимодействия двух частиц появится кубический член относительно , что противоречит уже выбранной нами модели твёрдого тела в гармоническом приближении. Таким образом, согласно выбранной нами модели твёрдого тела его объём при любой температуре должен быть одним и тем же. По определению коэффициента объёмного расширения имеем

. (6.75)

Учитывая, что при описании твёрдых тел в гармоническом приближении они при нагревании

не расширяются необходимо в (6.75) положить Так как один из трех термодинамических параметров , , твёрдого тела как закрытой системы, а именно, параметр для невырожденного идеального фононного газа зафиксирован, то фиксировать другой параметр, скажем , уже не представляется возможным. Поэтому для такой модели твёрдого тела, у которой потенциальная энергия взаимодействия частиц рассматривается только в квадратичном приближении, введение понятия (теплоёмкости при постоянном давлении), очевидно, бессмысленно.

6.22. Упругие волны с учётом нелинейных эффектов

Упругие волны с бесконечно малыми амплитудами распространяются в твёрдых телах, не взаимодействуя друг с другом. При малых амплитудах смещение частиц твёрдого тела при растяжении и при сжатии одинаковы, так как дно потенциальной энергии взаимодействия между частицами можно аппроксимировать параболой [32]. В этом случае можно ограничиться линейной зависимостью между компонентами напряжений и деформаций в (6.4) (линейная теория упругости). Для упругих волн конечной амплитуды смещения при растяжении и сжатии становятся неравноправными: сила отталкивания при сближении частиц нарастает больше, чем сила притяжения при увеличении расстояния между ними. В данном случае в законе Гука приходится учитывать уже и квадратичные члены относительно компонент деформаций, т.е. использовать нелинейный закон Гука [30]

(6.76) В (6.76), кроме тензора модулей упругости второго ранга , необходимо ввести ещё один тензор модулей упругости третьего ранга . Теория упругости, построенная на нелинейном законе Гука, называется нелинейной теорией упругости.

6.23. Нелинейное одномерное волновое уравнение

В случае одномерного твёрдого тела нелинейный закон Гука с учётом (6.76) принимает следующий вид [32]

(6.77)

где - модуль упругости второго порядка, а - модуль упругости третьего порядка. Для одномерного твёрдого тела дифференциальное уравнение движения упругой среды (6.1) запишется так

(6.78)

Подставляя в (6.78), получим нелинейное одномерное волновое уравнение относительно смещения

(6.79) где - линейная плотность одномерного твёрдого тела. Нелинейная теория упругости приводит к зависимости фазовой скорости упругой волны от деформаций [32]

(6.80) Вследствие этого форма упругой волны в процессе её распространения изменяется. Искажение формы волны приводит к изменению её спектра. Нелинейность в законе Гука приводит к генерации новых гармоник в твёрдом теле. Различные упругие волны взаимодействуют друг с другом, порождая новые волны.