4.6. Собственные функции операторов , ,

Представим волновую функцию в (4.27) в виде произведения следующих функций

(4.34) где

exp (4.35)

(4.36)

Подставляя (4.34) в уравнение (4.21), получим

(4.37) Учитывая, что

(4.38) получим

(4.39)

Из (4.39) следует по определению собственных функций оператора, что функции , , являются собственными функциями соответственно операторов , , , а , , являются собственными значениями этих операторов. Можно показать, что и

(4.40)

т.е. волновые функции , , являются также собственными волновыми функциями соответственно операторов , , . Тогда волновую функцию в (4.34) можно представить так

(4.41) где

(4.42)

(4.43)

(4.44)

(4.45)

Учитывая (4.17), (4.30) и (4.38) получим

(4.46)

4.7. Квантовое пространство состояний плоской волны

Введём следующие операторы

(4.47) Так как операторы отличаются соответственно от операторов , , только коэффициентом , то у них должны быть одни и те же собственные функции, т.е.

(4.48)

где - собственные значения операторов . Собственные значения этих операторов образуют три дискретных множества натуральных чисел

(4.49)

(4.50)

(4.51) Возьмём прямоугольную систему координат и будем откладывать по её осям , , соответственно величины из множеств , , . Тогда мы получим трёхмерное дискретное пространство, точки которого лежат в узлах кубической решётки с периодом равным 1. Это пространство назовём квантовым пространством состояний плоской волны. Действительно, состояние определяется в квантовой механике её волновой функцией , а выбор этой собственной функции определяется именно квантовыми числами , , . Выберем в этом пространстве прямоугольный параллелепипед с углом в

начале координат с рёбрами, выходящими из него и расположенными на осях , , в

их положительных направлениях. Тогда его объём будет

(4.52) Очевидно, он равен числу квантовых состояний плоской волны [25].