6.3. Продольные и поперечные упругие волны
Подставляя из (6.10) в (6.1), получим уравнения движения упругой изотропной среды в перемещениях [29] (дифференциальные уравнения Ламе)
= (
(6.11)
где
, а
- (6.12)
оператор
Пуассона. Уравнения движения упругой
среды в (6.11) описывают распространение
в ней двух типов волн. Дифференцируя
уравнение (6.11) по
и складывая их, получим
= (
(6.13)
Это волновое уравнение показывает,
что относительное объёмное расширение
распространяется в упругой среде со
скоростью
(6.14) Такие
упругие волны называются продольными
упругими волнами (по старой терминологии
волнами «расширения»). С другой стороны,
дифференцируя (6.11), в котором
,
по
,
а в уравнении (6.11), в котором
,
по
,
и вычитая из одного другое, получим
=
(6.15)
где
–
(6.16)
Здесь
- компонента вращения вектора смещения
относительно оси
.
Аналогично уравнению (6.16) можно получить
для
и
=
(6.17)
где
, а
–
–
(6.18)
Величины , , представляют собой компоненты вектора вращения смещения
(6.19) Таким образом,
уравнения (6.15) и (5.17) представляют собой
уравнения распространения вихря
со скоростью
(6.20) т.е.
сдвиговой или поперечной волны в
направлении оси
.
Из последнего следует, что вектор
смещения
вращается в плоскости
так, что его конец описывает окружность.
Так получается потому, что поперечная
упругая волна имеет две независимые
поляризации, в результате сложения
которых [22] и получаем движение вектора
смещения по круговой линии, навитой на
направление распространения этих двух
поперечных волн
(винтовая линия). Очевидно, в изотропной
упругой среде могут распространяться
волны двух типов: продольные и поперечные.
В продольных волнах движение частиц
среды параллельно направлению их
распространения, а деформация представляет
собой комбинацию всестороннего сжатия
(расширения) и чистого сдвига. В поперечной
же волне движение частиц среды
перпендикулярно направлению распространения
волны, а деформация является чистым
сдвигом. Кроме того, поперечные волны
имеют две независимые поляризации. В
анизотропных средах (кристаллах) чисто
продольные и чисто поперечные волны
могут распространяться только в
определённых направлениях, совпадающих
с направлениями кристаллографических
осей. В общем случае в кристалле по
любому направлению распространяются
три волны: одна квазипродольная и две
квазипоперечных, в которых преобладают
соответственно продольные и поперечные
смещения частиц [30]. В дальнейшем как
кристаллические, так и аморфные тела,
мы будем считать изотропными средами.