4. Плоские монохроматические волны и соответствующие им квазичастицы

4.1. Волновое уравнение

Бегущая волна – это возмущение, распространяющее в среде, которое несёт с собой энергию без переноса вещества. Распространение волны в среде описывается волновым уравнением

(4.1)

где - вектор, физический смысл которого определяется природой волны, а - фазовая скорость волны. Если мы введём оператор д’ Аламбера

(4.2) то уравнение (4.1) принимает компактный вид [21]

(4.3) В дальнейшем нас будут интересовать только электромагнитные и упругие колебания, хотя всё изложенное ниже можно применить и к волнам другой природы. Для электромагнитных волн в вакууме имеем два волновых уравнения [23]

(4.4) где и - соответственно напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне. Для упругих волн, распространяющихся в твёрдых телах, мы также

имеем два уравнения (пункт 6.3)

, . (4.5)

Уравнения (4.5) описывают две независимые бегущие в одном направлении волны. В одной из них смещение частиц среды направлено вдоль направления распространения самой упругой волны (она называется продольной), а в другой смещение частиц среды направлено в плоскости, перпендикулярной направлению её распространения (она называется поперечной). Скорости распространения этих волн и различны.

4.2. Плоские монохроматические волны

Каждому из векторных уравнений (4.3), (4.4), (4.5) соответствуют три скалярных. Например, векторному уравнению в (4.3) соответствуют следующие уравнения

(4.6) где , , - проекции вектора соответственно на оси , , . Первому скалярному уравнению в (4.6) удовлетворяет частное решение

(4.7) где

(4.8) - скалярное произведение радиуса-вектора и волнового вектора , - круговая частота, – амплитудное значение физической величины в волне. Уравнение (4.7) представляет собой плоскую монохроматическую бегущую волну. Величина

(4.9) называется фазой волны. Поверхность, во всех точках которой волна в данный момент времени находится в одной фазе , образует в пространстве волновую поверхность, называемую фронтом волны. Для плоской бегущей волны это плоскость

(4.10) где

(4.11) Эта плоскость перпендикулярна волновому вектору k . Действительно, функция

(4.12) характеризует задание скаляра в каждой точке пространства. Градиент этого скаляра [22]

i + j + l (4.13)

представляет собой вектор, перпендикулярный поверхности в (4.10) в каждой её точке. Здесь , , - единичные векторы, направленные в положительных направлениях осей , , . Сравнивая (4.12) и (4.13), видим, что

. (4.14)

Таким образом, уравнение (4.7) представляет собой плоскую волну, распространяющуюся в направлении волнового вектора . Дифференцируя выражение (4.9) по времени , получим, учитывая, что на волновой поверхности

(4.15) Подставляя уравнение (4.7) в первое уравнение из (4.6), получим

(4.16) Из (4.16) следует, что

(4.17) Сравнивая (4.17) с (4.15), видим, что это возможно, если || , т.е. когда направления фазовой скорости 𝛖 и волнового вектора совпадают.