3.15. Связь двумерного квазиклассического фазового пространства с одномерным квантовым фазовым пространством

Формула в (3.61) противоречит законам математики. Действительно, - число

состояний частицы является дискретной величиной, а модуль импульса согласно классическим представлениям непрерывной величиной. Поэтому, если величину мы считаем непрерывной величиной, то и мы должны также считать непрерывной величиной. Этим мы в дальнейшем и воспользуемся. Далее, если под в двумерном квазиклассическом фазовом пространстве понимать не только число состояний частицы, но и квантовое число, то соотношение в (3.61) можно считать связью между квазиклассическим двумерным фазовым и одномерным квантовым фазовым пространствами (уравнение (3.54). Переход от одномерного квантового фазового пространства к двумерному квазиклассическому очевиден: необходимо заменить дискретное значение проекции импульса на его непрерывное значение модуля импульса , а величину уже считать не дискретной, а непрерывной величиной, которая представляет собой не только число состояний в квазиклассическом фазовом пространстве, но и квантовое число.

3.16. Связь шестимерного квазиклассического фазового пространства частицы с её трёхмерным квантовым фазовым пространством

Интегрируя (3.58), получим

(3.62)

Сравнивая (3.62) с (3.57), видим, что для того, чтобы было соответствие между шестимерным квазиклассическим и трёхмерным квантовым фазовыми пространствами частицы, необходимо положить в (3.57)

(3.63) Сделав это, получим

(3.64)

Соотношение (3.64) устанавливает связь между трёхмерным квантовым и шестимерным квазиклассическим фазовыми пространствами частицы. Величина в (3.64) представляет собой число квантовых состояний частицы, находящейся в объёме и имеющей импульс в квазиклассическом случае [18]. Отметим, что для квазиклассического описания трёхмерного движения частицы необходимо только одно квантовое число . В случае квантового описания трёхмерного движения частицы необходимы уже три квантовых числа , , .

3.17. Правило квантования движения частицы Бора

Формулу в (3.60) можно представить ещё так

(3.65) где в правой части (3.65) стоит фазовый интеграл, взятый по полному периоду квазиклассического движения частицы. То, что интеграл в (3.65) взят по полному периоду квазиклассического движения частицы, следует из того, что на движение частицы выше были наложены периодические граничные условия. Подставляя (3.65) в (3.61), получим

(3.66) Уравнение (3.66) представляет собой правило квантования орбит Бора в старой квантовой механике [19]. Это правило было сформулировано им на основе эмпирических соображений и подкреплялось экспериментом. В данной работе это правило получено из установленной связи между двумерным квазиклассическим и одномерным квантовым фазовыми пространствами [18]. При приближённом решении одномерного уравнения Шрёдингера с помощью метода ВКБ (метод Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна) [20] получим приближённое правило квантования Бора –Зоммерфельда в старой квантовой теории

= (3.67) Условие (3.67) определяет в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Сравнивая (3.66) и (3.67) видим, что условие в (3.67) переходит в условие (3.66) только при больших квантовых числах, т.е. когда .