5. Теория равновесного с веществом фотонного газа

5.1. Равновесный идеальный фотонный газ

Каждой плоской монохроматической электромагнитной волне с волновым вектором поставим в соответствие квазичастицу, называемую фотоном. Энергия этой квазичастицы даётся формулой Планка (4.65), а импульс формулой де Бройля (4.66). Число степеней свободы фотону, согласно пункту 4.15, следует приписать равным шести. Совокупность плоских независимых монохроматических электромагнитных волн можно рассматривать как некоторый идеальный фотонный газ. Спин фотона равен 1 в единицах ħ, следовательно, он является бозоном, т.е. он подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. Отметим, что тепловое равновесие в фотонном газе может установиться только в присутствии в нём вещества. Число фотонов в равновесном фотонном газе является переменной величиной и должно определяться из условия теплового равновесия, т.е. минимума свободной энергии фотонного газа при заданных и [8]

(5.1)

Это означает, что химический потенциал фотонов в равновесном с веществом фотонном газе при любой температуре обязательно должен быть равен нулю. Согласно сказанному выше термодинамическая система, у которой для её частиц химический потенциал , является открытой [1], [2]. Последнее означает, что температура вырождения идеального фотонного газа равна бесконечности. Действительно, если положить в найденной температуре вырождения (уравнение (2.21)) идеального бозонного газа массу покоя бозона равной нулю, то мы получим для фотона .

5.2. Применение статистики Бозе-Эйнштейна к равновесному с веществом фотонному газу

Применим формулы (3.71) – (3.73) к равновесному фотонному газу, учитывая, что

фотоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и то, что для них химический потенциал µ равен нулю. Получим [29]

(5.2)

(5.3)

exp[ T (5.4)

Здесь

(5.5) а элементарное число квантовых состояний плоской электромагнитной волны равно , в случае квазиклассического приближения. Производя в (5.4) интегрирование по частям и учитывая, что согласно [8] , а для фотонов равно нулю, получим

(5.6)

5.3. Определение термодинамических характеристик равновесного фотонного газа

Введём новую переменную интегрирования ( . Получим

(5.7)

(5.8)

(5.9) В формулах (5.7) – (5.9) согласно пункту 4.16 . Согласно [10]

(5.10)

(5.11) Здесь - дзета-функция. Учитывая (5.10) и (5.11), получим

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Следует отметить, что у авторов работ [8],[11], элементарное число квантовых состояний согласно (2.10), которое является ошибочным, для фотонного газа равно

(5.15) В (5.15) использовалась дебройлевская связь между квазиимпульсом квазичастиц и волновым вектором соответствующей ей волны. Можно показать, что, если в формулах (5.2) – (5.4) заменить элементарное число квантовых состояний на элементарное число квантовых состояний из (5.15), то все полученные результаты в (5.12) – (5.14) будут увеличены в раз.