11.19. Теплоёмкость «конденсата» вырожденного идеального ферми-газа

Компонент вырожденного идеального ферми-газа, состоящий из «осевших» на самые нижние уровни фермионов, согласно принципу Паули представляет собой закрытую систему. Но тогда согласно [1] в такой термодинамической системе можно ввести теплоёмкость при постоянном объёме

. (11.39)

Однако, так как не зависит от температуры , то, очевидно, что .

11.20. Плотность теплоёмкости компонента, состоящего из «свободных» фермионов

Компонент вырожденного идеального ферми газа, состоящий из «свободных» частиц,

представляет собой открытую систему, так как химический потенциал его фермионов равен нулю. Но тогда согласно [1] в такой системе можно ввести только плотность теплоёмкости и согласно (1.17) имеем

(11.40)

при том единственном равновесном процессе, который в ней можно осуществить (процессе конденсации Ферми-Дирака). Подставляя в последнее уравнение значение , получим

(11.41)

Таким образом, вклад в теплоёмкость вырожденного идеального ферми-газа вносит только компонент, состоящий из «свободных» фермионов.

11.21. Критические замечания

Авторы [8], используя теорему о малых добавках, находят внутреннюю энергию

идеального ферми-газа при низких температурах

. (11.42)

Из последнего уравнения следует, что у идеального ферми-газа при низкой температуре оказывается пропорциональна первой степени абсолютной температуры . Развитая в данной монографии теория двухкомпонентной модели вырожденного идеального ферми-газа говорит об ошибочности выводов авторов работы [8]. Авторы рассматривают идеальный ферми-газ при низкой температуре как закрытую термодинамическую систему. Они не смогли дать определение температуры вырождения идеального ферми-газа и найти её теоретическое значение. Вместо этого они дают лишь приближённое её значение: . Не смогли они также ввести понятие «конденсации Ферми-Дирака» как единственного процесса, который происходит в вырожденном идеальном ферми-газе при понижении его температуры. Химический потенциал частиц вырожденного идеального ферми-газа авторы считают положительным, равным , при температурах близких к абсолютному нулю. Таким образом, при изучении вырожденного идеального ферми-газа авторы считают его закрытой однокомпонентной системой.

11.22. Вычисление температуры вырождения электронного газа для некоторых металлов

Величину можно представить так

. (11.43)

Здесь - масса атома, а - плотность вещества, состоящего из этих атомов.

Подставляя это значение в (11.5), получим

, (11.44)

где β - число валентных электронов у атома данного металла, - масса электрона, а величина g для электронов равна 2. Найдём температуру вырождения электронного газа в алюминии: , , ∙1,66∙ Подставляя эти данные в (11.43), с учётом того, что , , получим . Для серебра: , , , поэтому . Для свинца: , , тогда . Эти вычисления показывают, что температура вырождения электронного газа в металлах составляет сотни тысяч градусов Кельвина. Из (11.25) следует, что при всех обычных температурах (T << T₀) у всех металлов свободные электроны в них образуют практически полностью вырожденный электронный газ ( ).