5.10. Первые спектральные законы равновесного излучения (законы смещения)

Для исследования спектральных характеристик равновесного излучения , , , , , как функций круговой частоты , введём безразмерную переменную . Тогда получим [28]

(5.48)

(5.49)

(5.50)

(5.51)

(5.52) Условия нахождения максимумов-минимумов этих функций запишутся так

(5.53)

(5.54)

(5.55) Условие (5.53) приводит к следующему трансцендентному уравнению относительно

(5.56) Решая его подбором значений , получим

(5.57) или

(5.58) Уравнение (5.58) представляет собой закон, согласно которому максимум спектральной плотности объёмной плотности числа фотонов при повышении абсолютной температуры смещается в сторону больших частот . При этом частота оказывается пропорциональной абсолютной температуре . Мы назовём этот закон первым спектральным законом для спектральной плотности объёмной плотности числа фотонов или законом смещения максимума спектральной плотности объёмной плотности числа фотонов.

Так как функции и отличаются только коэффициентом, то условия в

(5.54) приводят к одному и тому же трансцендентному уравнению

(5.59) Решая его, получим значения

(5.60) Здесь индекс 2 соответствует спектральной функции , а индекс 3 соответствует спектральной функции . Таким образом, мы имеем ещё два первых спектральных закона

(5.61)

Один из них – первый закон для спектральной плотности внутренней энергии равновесного фотонного газа. Нетрудно видеть, что это известный первый закон Вина (закон смещения Вина) [8]. Согласно этому закону максимум спектральной плотности объёмной плотности внутренней энергии равновесного фотонного газа при повышении абсолютной температуры смещается в сторону больших частот . При этом частота оказывается пропорциональной абсолютной температуре .

Следующий спектральный закон в (5.61) относится к закону смещения минимума спектральной плотности объёмной плотности свободной энергии равновесного фотонного газа , так как согласно определению является отрицательной функцией. Согласно этому закону минимум спектральной плотности объёмной плотности свободной энергии равновесного фотонного газа при повышении абсолютной температуры смещается в сторону больших частот . Причём, эта частота согласно (5.61) пропорциональна абсолютной температуре . Мы назовём его первым законом смещения минимума спектральной плотности объёмной плотности свободной энергии равновесного фотонного газа.

Наконец, условия (5.55) поскольку функции и отличаются только коэффициентом приводят к одному и тому же трансцендентному уравнению

(5.62) Решая его, получим значения

(5.63)

Здесь индекс 4 относится к спектральной функции , а индекс 5 к спектральной функции . Следовательно, мы опять имеем два первых спектральных закона

(5.64) Один из законов относится к закону смещения максимума спектральной плотности объёмной плотности энтропии равновесного фотонного газа при изменении температуры равновесного излучения. Согласно этому закону максимум спектральной плотности объёмной плотности энтропии равновесного фотонного газа при повышении температуры смещается в сторону больших частот . При этом частота согласно (5.64) пропорциональна абсолютной температуре . Мы назовём его первым законом для спектральной плотности объёмной плотности энтропии равновесного фотонного газа или законом смещения максимума спектральной плотности объёмной плотности энтропии равновесного фотонного газа. Наконец, последний (пятый закон смещения) относится к закону смещения максимума спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости равновесного фотонного газа при изменении абсолютной температуры T. Согласно этому закону максимум спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости при повышении температуры смещается в сторону больших частот . При этом частота оказывается пропорциональной абсолютной температуре. Назовём этот закон первым спектральным законом для спектральной плотности объёмной плотности теплоёмкости равновесного фотонного газа. Отношения частот, на которые приходится максимумы - минимумы спектральных функций , , , , , друг к другу являются универсальными константами, которые не зависят от природы вещества, с которым

фотонный газ находится в равновесии

(5.65)