6.8. Конденсация Бозе-Эйнштейна в идеальном фононном газе

При понижении температуры в идеальном фононном газе ниже температуры его

вырождения часть фононов скапливается на самом нижнем уровне энергии . Эти фононы не вносят вклада ни в энергию идеального фононного газа, так как их энергия ,

ни в давление, так как их модуль квазиимпульса . Это явление назовём конденсацией Бозе-Эйнштейна в идеальном фононном газе. Для всех фононы идеального фононного газа имеют и, следовательно, согласно (6.41)

(6.43) т.е. идеальный фононный газ представляет собой открытую систему (систему с переменным числом частиц ). Переходя к терминологии открытых систем, уравнение в (6.43) следует переписать так

(6.44)

Разделив (6.44) на (6.41), получим

(6.45) Идеальный фононный газ, находящийся ниже температуры его вырождения, будем называть вырожденным.

6.9. Нахождение плотности свободной энергии вырожденного идеального фононного газа

Как известно [8] из термодинамики закрытых систем свободная энергия

(6.46) Для вырожденного идеального фононного газа при всех химический потенциал его фононов и, следовательно, . Полагая в (6.36) и делая замену переменной интегрирования , получим

T ( – z (6.47)

Интегрируя последнее выражение по частям, получим

T (6.48)

Стоящий в (6.47) интеграл согласно [10] равен , следовательно,

(6.49) Переходя в (6.48) к характеристике открытой системы , получим

(6.50)

6.10. Уравнение состояния вырожденного идеального фононного газа

Согласно (5.17) уравнение состояния вырожденного идеального фононного газа как открытой системы имеет следующий вид

(6.51) Уравнение (6.51) является также и уравнением единственного равновесного процесса, который можно осуществить в вырожденном идеальном фононном газе (процесса

конденсации Бозе-Эйнштейна).

6.11. Нахождение плотности энтропии вырожденного идеального фононного газа

Плотность энтропии вырожденного идеального фононного газа как открытой системы можно получить, используя формулы (5.20) и (6.50)

(6.52) Заметим, что (6.52) также можно было бы найти, используя уравнение состояния открытой однокомпонентной системы (1.2).