6.4. Подсчёт числа упругих плоских волн в объёме твёрдого тела, имеющего структуру

Для твёрдых изотропных тел, не имеющих структуры, число различных плоских упругих волн (упругих волн с различными квантовыми числами ) в объёме согласно (4.73) равно

(6.21) На самом деле, кристаллические и аморфные тела состоят из частиц. В кристаллических телах эти частицы расположены в узлах кристаллической решётки на определённом расстоянии друг от друга. В аморфных телах эти частицы расположены беспорядочно друг относительно друга. Как для аморфных, так и для кристаллических твёрдых тел можно ввести понятие среднего расстояния между частицами. Определим его следующим образом

(6.22) где - число частиц в объёме . Учитывая, что , уравнение (6.21) можно переписать так

(6.23) Очевидно, что упругие волны, длина волны которых меньше среднего расстояния между частицами, вообще не могут распространяться в твёрдых телах. Ясно, что наименьшая длина волны должна быть, по крайней мере, равна среднему расстоянию между частицами , т.е.

(6.24) Из (6.22) и (6.24) следует, что

= (6.25) Таким образом, максимальное число упругих плоских волн в данном объёме изотропного твёрдого тела должно быть равно числу частиц в данном объёме, из которых состоит твёрдое тело [26].

6.5. Идеальный фононный газ

По аналогии с электромагнитным излучением, для которого введена квазичастица (квант электромагнитного излучения) фотон, для упругого излучения вводится квазичастица (квант упругого излучения) фонон. Таким образом, плоской упругой волне с волновым вектором соответствует квазичастица с квазиимпульсом . Энергия этой квазичастицы ( - скорость распространения упругой волны в изотропном твёрдом теле). Так как упругие волны бывают продольные и поперечные, то имеет смысл говорить о двух видах фононов, которые формально можно назвать «продольными» и «поперечными». Упростим задачу: будем считать, что все фононы имеют одну и ту же скорость, которую определим как среднюю скорость скорости «продольного» и скорости «поперечного» фононов [26]

(6.26)

В (6.26) учтено, что у поперечной волны две независимые поляризации. Вполне очевидно, что изучение свойств твёрдого тела сводится к изучению свойств идеального фононного газа. Фононы являются бозонами – квазичастицами, которые подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.