12.5. Двухкомпонентная модель вырожденного твёрдого тела

Назовём температуру вырождения идеального фононного газа в твёрдом теле температурой вырождения самого твёрдого тела. Тогда по аналогии с частью 10 для идеального бозе-газа твёрдое тело ниже температуры его вырождения также состоит из двух компонентов: один компонент состоит из частиц, представляющих собой плоские упругие волны, другой из частиц твёрдого тела, представляющих собой трёхмерные осцилляторы с различными нулевыми энергиями («конденсат»). Квазичастицы, из которых состоят оба эти компонента, будем называть фононами. Этим компонентам следует приписать различные температуры: компоненту, состоящему из упругих плоских волн температуру , при которой находится вырожденное твёрдое тело, а компоненту, состоящему из трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией («конденсату»), .

12.6. Конденсация Бозе-Эйнштейна в твёрдом теле в случае квазиквантового приближения

При понижении температуры твёрдого тела ниже его температуры вырождения фонон, представляющий собой упругую волну, переходит в фонон, представляющий собою трёхмерный осциллятор с нулевой энергией. Этот переход представляет собой не что иное как «закон сохранения числа степеней свободы» у фононов различной природы (упругих волн и трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией). Действительно, согласно пункту 4.12 плоская упругая волна имеет шесть степеней свободы. Следовательно, и квазичастица соответствующая ей фонон имеет также шесть степеней свободы. При переходе этого фонона в его новое состояние – состояние осциллятора с нулевой энергией - и в этом состоянии должно сохраниться то же самое число степеней свободы у фонона, равное шести. Это выполняется в том случае, если осциллятор будет трёхмерным, если учесть, что на каждый линейный осциллятор приходится две степени свободы.

12.7. Невозможность термодинамического равновесия между компонентами вырожденного твёрдого тела

Так как компонентам твёрдого тела, состоящим из упругих волн и из трёхмерных осцилляторов с нулевой энергией приписаны различные температуры соответственно и , то никакого термодинамического равновесия между ними быть не может.

12.8. Закон сохранения числа фононов в замкнутой системе

Существует другое равновесие между этими компонентами в вырожденном твёрдом теле, которое связано с законом сохранения числа фононов в замкнутой системе

(12.3)

Здесь - число фононов в невырожденном фононном газе. Уравнение в (12.3) с учётом уравнения (6.46) можно переписать так

. (12.4)

Условие (12.4) должно выполняться для вырожденного идеального фононного газа при любой температуре , взятой из интервала температур ( ). В частности, когда температура при которой находится вырожденный идеальный фононный газ, состоящий из упругих волн, становится равной нулю, то из (12.4) следует, что , т.е. все фононы, представляющие собой упругие волны, перешли на самый нижний уровень энергии и превратились в трёхмерные осцилляторы с нулевой энергией, а сам вырожденный двухкомпонентный идеальный фононный газ стал однокомпонентным («конденсатом»).