13. О современной статистической термодинамике твёрдых тел
13.1. Современная модель твёрдого тела
Будем излагать эту теорию согласно
работе [8]. Авторы этой работы предполагают,
что число элементарных ячеек в
кристаллической решётки
,
а
- число атомов в одной ячейке. Тогда
число колебательных степеней свободы
кристалла равно
и его можно рассматривать как совокупность
независимых линейных осцилляторов.
13.2. Свободная энергия твёрдого тела
Свободную энергию твёрдого тела они записывают так
(13.1)
Здесь
суммирование производится по всем
нормальным колебаниям. Член
в (13.1) характеризует свободную энергию
нулевых колебаний всех атомов, хотя
непонятно, что он из себя представляет.
Формула (13.1) получена с помощью
«колебательной» статистической суммы
двухатомной молекулы, в которой атомы
совершают гармонические колебания с
частотой
[8]
(13.2)
В
выражении (13.2) отсчёт энергии колебаний
двухатомной молекулы производится от
нулевой энергии
, а суммирование по квантовому числу
от нуля до ∞. Авторы получают свободную
«колебательную» энергию идеального
газа, состоящего из
одинаковых двухатомных молекул
(13.3)
и применяют формулу (13.3) к твёрдому телу, рассматривая его как систему, состоящую из линейных осцилляторов с различными частотами колебаний.
13.3. Неправильное определение понятия низких температур
Далее авторы [8] рассматривают твёрдое
тело при низких температурах. Они
считают, что при низких температурах в
(13.1) играют роль лишь члены с малыми
частотами, т.е.
,
и поэтому колебания при малых частотах
представляют собой не что иное, как
обычные звуковые волны с длиной волны
,
где
- её скорость. Авторы считают, что в
звуковых волнах длина волны велика по
сравнению с постоянной решётки
(
).
Последнее означает, что
. Умножая это неравенство на
и учитывая, что
,
они получают условие для низких
температур, при которых колебания можно
рассматривать как звуковые волны
. (13.4)
Условие в (13.4) для низких температур авторами явно надумано: оно отвергает вообще распространение в твёрдом теле упругих волн, кроме звуковых. На самом деле, как показано в части 6, возможность распространения упругих волн в твёрдых телах согласно (6.24) определяется следующим условием
(13.5)
Нетрудно
видеть, что если в (13.4) заменить неравенство
на равенство, а величину
на
,
то получим температуру, близкую к
температуре вырождения (
).
Таким образом, понятие низких температур
на самом деле связано с температурами,
которые оказываются ниже температуры
вырождения (
),
но не
,
как считают авторы. В пункте 6.19
показано на примерах ряда металлов, что
температура вырождения в них фононного
газа практически совпадает с температурой
Дебая (
.
Тогда, следуя [8], условием распространения
в твёрдом теле звуковых волн является
неравенство
.
Это
условие является явно надуманным авторами: упругие волны в твёрдых телах могут распространяться как при низких так и при высоких температурах.