2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного

состояния в точке

Разложив векторы по осям системы координат, получим запись соотношений Коши в развернутом виде:

(2.9)

Компоненты есть не что иное, как нормальные (при i = к) и касательные (при i ≠ к) напряжения на гранях элементарного объема, в соответствии с правилом индексов п. 2.1 (здесь и везде в дальнейшем, если не оговорено иное, имеется ввиду прямоугольная декартова систеа координат).

Нормальным называется напряжение, которое действует по нормали к площадке.

Касательным называется напряжение, которое действует по касательной к площадке.

Перепишем соотношения Коши в развернутом виде, используя при этом принятое в ОМД обозначение нормальных напряжений при помощи буквы σ («сигма») с одним индексом, и касательных – при помощи буквы τ («тау») с двумя индексами. В таком виде данные соотношения и будут использоваться в дальнейшем:

(2.10)

Входящие в правую часть (2.10) нормальные и касательные напряжения являются компонентами напряженного состояния в точке, т.к. их знание необходимо и достаточно для определения на любой площадке (с нормалью ), проходящей через данную точку.

Компонентами напряженного состояния в точке являются три нормальных и шесть касательных напряжений на гранях эле-ментарного объема.

На гранях элементарного объема в декартовой системе координат компоненты напряженного состояния изображаются, как показано на рисунке 2.3.

На противоположных гранях элементарного объема также будут действовать 9 напряжений, но они отличаются от напряжений на лицевых гранях на бесконечно малые величины.

Рисунок 2.3 − Компоненты напряженого состояния в точке

Рассмотрим более подробно правила индексов для напряжений:

1. Индекс нормального напряжения показывает, вдоль какой оси оно действует.

2. Первый индекс касательного напряжения указывает его адрес (по какой площадке оно действует) и соответствует нормали к данной площадке, а второй индекс показывает, вдоль какой оси оно действует.

Следует иметь в виду, что в старых учебниках (например, [10]), используется обратное правило для касательных напряжений, по которому адрес напряжения указывает второй индекс.

Правила знаков для напряжений:

1. Нормальное напряжение имеет знак плюс, если оно вызывает деформацию растяжения и знак минус – в обрат ном случае.

2. Знак касательного напряжения определяется по выражению:

где признак α₁ имеет знак плюс, если направление касательного нап- ряжения совпадает с положительным направлением паралель-

ной ему оси; в противном случае – минус;

признак α₂ имеет знак плюс, если на площадке касательного напряжения действует положительное нормальое напряжение; если отрицательное – знак минус;

признак α₃ имеет знак плюс, если указанное выше нормальное напряжение направлено в положительном направлении парал-лельной ему оси; в противном случае – знак минус.

Символ «sign» произносится как «сигнум», что означает знак. Например: на рисунке. 2.4 показаны векторы нормальных и касательных напряжений с индексами и знаками, соответствующими вышеприведенным правилам индексов и знаков.

Рисунок 2.4 − Пример на правила индексов и знаков

Следует помнить, что ноль является положительным числом и поэтому при отсутствии на площадке нормального напряжения признаки α₂ и α₃ имеют знак плюс.