2.10 Нормальные и касательные напряжения

на произвольных площадках

По соотношениям Коши можно найти компоненты полного напряжения, действующего на любой площадке, если известен тензор напряжений. Однако компоненты , , не являются ни нормальными, ни касательными напряжениями и поэтому не подходят для анализа напряженно-деформированного состояния.

Найдем нормальное σ_ν и касательное τ_ν напряжения на площадке, для которой известен вектор нормали . Для этого вектор полного напряжения нужно спроектировать на нормаль и касательную к площадке (рис.2.10).

Рисунок 2.10 − К определению напряжений на произвольных

площадках

Скалярное произведение на даст модуль нормального на-пряжения:

│σ_ν│= = p_νxl + p_νym + p_νzn (2.26)

Выразив p_ij через компоненты σ_ij по (2.10), получим:

|σ_ν|=(σ_хl²+τ_yxml+τ_zxnl)+(τ_xylm+σ_ym²+τ_zynm)+(τ_xzlm+τ_yzmn+σ_zn²)

Если тензор σ_ij симметричен, то выражение упрощается:

(2.27)

Модуль касательного напряжения находится из соотношения:

(2.28)

Чтобы узнать направление τ_ν, нужно определить три направля-ющих косинуса:

Проекции касательного напряжения на оси координат:

Отсюда получим:

Легко убедиться, что сумма квадратов этих косинусов тождест-венно равна единице.

Направление σ_ν , естественно, совпадает с нормалью .

Если σ_ij задан в главных осях, то выражение для напряжений на

произвольно ориентированных площадках существенно упрощаются:

(2.29)

‌ (2.30)

(2.31)

2.11 Максимальные касательные напряжения

При поворотах системы координат напряжения на гранях элементарного объема (т.е. компоненты σ_ij) изменяются. При совпадении осей с главными направлениями тензора касательные напряжения становятся минимальными – равными нулю. Выясним, при такой ориентации системы координат они примут максимальные значения.

Для этого воспользуемся уравнением (2.31), выражающим величину касательного напряжения на произвольной площадке τ_ν в зависи-мости от ее ориентации (косинусов l, m, n). Исключим из (2.31) один из направляющих косинусов, например n, воспользовавшись условием эвклидовости пространства:

(2.32)

Полученное выражение продифференцируем по l и m и резуль-таты приравняем к нулю для определения экстремумов:

(2.33)

Одно из решений системы (2.33) очевидно: l = m = 0. По (2.32)

это означает, что n = ± 1 . Имеются и другие решения. При l = 0 по

второму уравнению (2.33) получим, что . При m = 0 по

первому уравнению найдем, что . Аналогично исключая из (2.31) m и l и находя производные, получим остальные значения ко-синусов, при которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Все полученные значения направляющих косинусов занесем в таблицу:

l	0	0	± 1	0
m	0	± 1	0		0
n	± 1	0	0			0

Направляющие косинусы в первых трех столбцах соответствуют площадкам, совпадающим с координатными плоскостями. Поскольку оси главные, то это будут косинусы главных площадок. В последних трех столбцах расположены косинусы, соответствующие площадкам, проходящим через одну из 3-х главных осей и делящим пополам угол между другими главными осями. На этих площадках касательные напряжения имеют максимальные значения (рис. 2.11).

Рисунок 2.11 − Площадки максимальных касательных напряжений

Выясним, как будут ориентированы максимальные касательные напряжения в плоскостях своих площадок. Т.к. векторы подчиняются условию (2.32), то очевидно, что они будут составлять угол с той осью, через которую подходит данная площадка. Например:

l = 0 , , откуда arc cos l = .

Направление стрелок векторов , соответствующее их знакам, уравнением (2.31) определено быть не может, поскольку это уравнение квадратичное. Знак устанавливается из физического смысла решаемой задачи.

Для определения величины следует значения косинусов для площадок подставить в (2.31). Получим выражения, в которых используется условное правило индексов: 1-й индекс – уменьшаемого нормального напряжения, а 2-й – вычитаемого. Из (2.34) видно, что наибольшим по модулю напряжением будет τ₃₁:

: (2.34)

Все вышеизложенные соображения применимы только в случае симметричного тензора напряжений σ_ij, поэтому τ₃₁ = τ₁₃, τ₂₃ = τ₃₂ и τ₁₂ = τ₂₁.

В отличие от главных площадок, на площадках действуют

нормальные напряжения. Их величину и знак можно найти по (2.30),

подставив соответствующие значения косинусов:

(2.35)

Правило индексов здесь условное, как и в (2.34).