3.8 Общий случай малых деформаций *

Рассматривая большие деформации мы исходили из того, что и при неоднородном деформированном состоянии, когда функция (х, у, z) нелинейна, в бесконечно малой окрестности любой точки деформированное состояние можно считать однородным. Это позволило нам ограничиться первыми производными в разложении функции в ряд Тейлора. В общем случае, когда напряжения неравномерно распределяются по элементарным площадкам, функцию смещения нельзя считать линейной даже в бесконечно малых окрестностях точки. Действительно, неравномерно распределенные напряжения будут вызывать, кроме удлинений и сдвигов, искривление граней элементарных объемов (рис. 3.9):

σ_x

до деформации после

Рисунок 3.9 − Искривление граней элементарного объема

Поэтому в общем случае элементарный объем после деформации будет иметь вид, показанный на рисунке 3.10.

Рисунок 3.10 − Элементарный объем после деформации

Выясним, можно ли через компоненты описать искривление граней. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию , взяв для простоты случай плоской деформации:

С другой стороны, кривизна грани есть степень неравномерности ее поворота:

χ_zx = ; χ_zу = ; т.е. χ_ij = .

Но известно, что

Поэтому:

и т.д.

Т.о. кривизна граней действительно описывается вторыми производными ряда Тейлора. Она может быть также выражена через компоненты Т_ε:

χ_zx = ; χ_zy = .

Поэтому и в общем случае малые деформации определяются тензором Т_ε, хотя для получения полной картины деформированного состояния по ε_ij следует находить тензор χ_ij , а также использовать его компоненты при определении поля вектора смещений по полю деформаций.

3.9 Анализ деформированного состояния в точке

Везде в дальнейшем будем рассматривать малые деформации. Если тензор ε_ij действительно определяет деформированное состояние в точке, то с его помощью можно рассчитать деформацию в произвольном направлении (аналогично полному напряжению на произвольно ориентированной площадке).

Тензор ε_ij характеризует изменение деформационной части поля во всевозможных направлениях. Изменение его в некотором направлении, заданном вектором , где l, m, n – косинусы углов между вектором и осями координат х, у, z соответственно, определяется производной по направлению. Она находится как произведение вектора на тензор ε_ij слева:

где е_νx, е_νу, е_νz можно истолковывать как деформацию среды в нап-равлениях х, у, z соответственно. Полная деформация в направлении является суммой ее проекций на оси:

(3.15)

Деформация не является ни линейной, ни угловой и поэтому представляет интерес разложение ее на деформацию удлинения (или укорочения) ε_ν в направлении и сдвиг γ_ν элементарного куба в направлении (рис.3.11).

Рисунок 3.11 − Линейная и угловая деформации в произвольном

направлении

Для определения ε_ν необходимо спроектировать на :

( 3.16)

Деформация сдвига γ_ν определяется как проекция на перпендикуляр к :

Модуль этой угловой деформации равен:

(3.17)