8.23 Поток тензорного поля

Как и для векторных полей, для тензорных применимы операции дифференцирования, интегрирования и образования потока, дивергенции, ротора и т.д [11].

Рассмотрим 2-стороннюю кусочно-гладкую поверхность S в тензорном поле . Для каждого элемента dS этой поверхности задан- положительный орт нормали (рис.8.8).

Потоком тензорного поля через поверхность называется поверхностный интеграл, взятый от скалярного произведения тензо-ра на вектор нормали:

Рисунок 8.8 − К определению потока тензорного поля

Т.к. произведение тензора на вектор есть вектор, то W - вектор. Его компоненты равны:

Примером может служить поток поля напряжений в упруго-деформированном теле через грани элементарного куба. Три его компоненты – равнодействующих на площадки, перпендикулярные к координатным осям (т.е. на грани элементарного куба). Следовательно, если поток Т_о равен нулю, то элементарный куб находится в равновесии (рис. 8.9):

Рисунок 8.9 − Равновесие элементарного объема

8.24 Дивергенция тензорного поля

Дивергенция тензорного поля характеризует мощность источников его в бесконечно малых окрестностях точек пространства, занимаемого полем [11].Определяется пределом:

при условии, что поверхность S, ограничивающая объем W, стягивается в точку и ее площадь стремится к нулю.

Дивергенция Т является вектором. Ее компоненты равны, учитывая, что произведению на Т слева:

Пример: найти выражение для дивергенции поля тензора напряжений.

Решение:

Следовательно, при равенстве дивергенции нулю имеем уравнения равновесия.

8.25 Производная тензорного поля по направлению

Представляет интерес изменение тензорного поля в том или ином направлении, заданном вектором . По аналогии с производной векторного поля [11]:

Эта производная будет тензором третьего ранга с компонентами:

Частные производные и представляют собой компоненты тензора 3-го ранга – производной тензорного поля Т_ix по векторному аргументу .

Ротор тензорного поля также является тензором 2-го ранга:

Cогласно справочника [39], его матрица имеет вид:

Предметный указатель

Альтернирование (тензора) – 297

Базис (векторный) – 290

Вектор – 288

- аксиальный – 293

- полярный – 293

- смещения – 72

Волокно – 20

Гипотеза „единой кривой” – 198

Годограф – 281

Градиент скалярного поля – 304

- векторного поля – 319

Движение механическое – 11

Девиатор напряжений – 55

- деформаций – 91

- скоростей деформаций – 112

Деформированное состояние – 81

- упругое плоское –162

- пластическое плоское – 243

- осесимметричное – 248

Деформация:

- абсолютная – 73

- векторного поля – 108

- главная – 92

- истинная – 73

- линейная – 82

- логарифмическая – 73

- максимальная угловая – 95

- малая – 73

- октаэдрическая - 96

- относительная – 73

- объемная – 91

- пластическая – 143

- полная – 89

- средняя линейная – 91

- угловая – 82

- упругая – 143

Диаграмма Мора – 57

Дивергенция векторного поля – 307

- тензорного поля – 322

Зависимости дифференциальные Коши – 97

Задача Коши – 275

- краевая статики – 68

- ОМД – 227

- Римана – 272

- смешанная – 276

Закон ассоциированный течения – 212

- Гука – 147

- парности касательных напряжений – 39

- сохранения импульса – 125

- массы – 126

- момента импульса – 125

- энергии – 125

- упругого изменения формы – 149

Изотропность – 125

Инвариант тензора – 301

- деформаций – 91

- напряжений – 47

- скоростей деформаций – 110

Интегралы Генки - 261

Интенсивность деформаций – 97

- напряжений – 60

- скоростей деформаций – 112

Кинематика сплошной среды – 71

Компоненты деформированного состояния – 81

- напряженного состояния – 33

Контур текучести – 184

Коэффициент Пуассона – 147

Линия векторная – 305

- вихревая – 104

- координатная – 19

- скольжения – 256

- тока – 105

Метод вариационный – 236

-верхней оценки – 223,237

- Галеркина – 173

- граничных элементов – 173,234

- Колосова – Мусхелишвили – 170

- конечных разностей – 171,234

- конечных элементов – 171,234

- линий скольжения – 255

- работ – 237

Модуль объемный – 149

- сдвига – 146

- упругости – 146

Нагружение простое – 207

Напряжение в точке – 27

- гидростатическое – 54

- главное – 46

- касательное – 33

- максимальное касательное – 51

- нормальное – 33

- октаэдрическое – 59

Напряженное состояние в точке – 29

- упругое плоское – 158

- пластическое плоское – 241

- линейное – 239

Начало термодинамики первое – 135

Объем элементарный – 19

Однородность пространства – 125

- времени – 125

Оператор „набла” – 311

Оси тензора главные – 299,46,92

Отображение конформное – 169

Параметр Удквиста – 199

- Лоде-Надаи – 216

Переменные Лагранжа – 22

- Эйлера – 23

Плотность сплошной среды – 127

Площадки главные – 46

- максимальных касательных напряжений – 52

- октаэдрические – 58

Поверхность координатная – 18

- текучести – 183

- тока – 106

- уровня – 303

Поле гармоническое – 316

- математическое – 302

- напряжений – 61

- статически допустимое – 222

- относительных смещений – 74

- потенциальное – 313

- скоростей – 104

- кинематически допустимое – 222

- соленоидальное – 315

Постояная Лямэ – 148

Потенциал пластический – 212

Поток векторного поля – 305

- тензорного поля – 320

Постулат Друкера – 207

Правило знаков для деформаций – 83

- для напряжений – 34

- индексов для деформаций – 83

- для напряжений – 33

Предел текучести –181

Принцип классичности – 15

- сплошности – 15

- феноменологичности – 17

- экстремальный – 250

Процесс квазистатический – 24

- термодинамический – 120

Решение задачи Прандтля – 269

- Хилла – 271

Решения в напряжениях – 156

- в перемещениях – 154

- полные – 284

Ротор векторного поля – 309

- тензорного поля – 324

Сетка линий скольжения – 256

- простая – 264

Сдвиг – 82

- максимальный – 94

- чистый – 239

Сечение трубки тока - 106

Симметрирование тензора - 297

Симметрия – 124

Система изолированная – 122

-термодинамическая – 119

Скаляр – 288

Скорость деформации – 110

- главная – 111

- деформирования – 110

- течения – 104

Слой – 20

Соотношения Коши – 32

Сопротивление деформации – 182

Среда жестко-пластическая с упрочнением – 196

- идеально жестко-пластическая – 196

- идеально упруго-пластическая –196

- упруго-пластическая с упрочнением – 196

Стержневая аналогия – 169

Струя – 107

Тело – 20

Тензор – 293

- Альманси – 85

- вращений – 108

- Грина – 86

- деформаций малых – 81

- изменения скоростей – 108

- напряжений – 36

- относительных смещений – 74

- скоростей дефораций – 108

- шаровой деформаций –91

- напряжений – 55

Теорема Гельмгольца 1^я – 107

- Гельмгольца 2^я – 114

- Генки 1^я – 261

- „живых сил” – 132

- Нётер – 124

- о простом нагружении – 207

- основная векторного анализа – 317

- Остроградского-Гаусса – 307

- Стокса – 311

Теория деформационная – 203

- пластичности – 179

- пластического течения – 197

- упругости – 144

Трубка тока – 106

- вихревая – 114

Уравнение бигармоническое – 166

- неразрывности – 127

- несжимаемости – 127

- теплопроводности – 140

- характеристическое – 51,93,300

Уравнения Бельтрами – 179

- Гейрингер – 280

- Леви –161,259

- Лямэ – 155

- Прандтля-Рёйсса – 201

- Сен-Венана – 100

- Сен-Венана -Леви-Мизеса – 202

- равновесия – 61,64,65,66,67

Условие Губера-Мизеса – 190

- пластичности – 182

- Треска-Сен-Венана – 186

Условия граничные – 68,152,232

- совместности деформаций – 97

Функция напряжений – 166

Цикл термодинамический – 121

Циркуляция – 309

Эллипсоид напряжений – 56

Энергия внутренняя – 136

- полная – 136

- кинетическая – 133