- •8 Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры
- •1.1 Задачи курса «Механика сплошных сред»
- •1.2 Предмет механики сплошной среды
- •1.3 Методы механики сплошной среды
- •1.4 Основные принципы механики сплошной среды
- •1.5 Элементарный объем
- •1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера
- •1.7 Движение и равновесие сплошной среды
- •2 Статика сплошной среды
- •2.1 Напряжение в точке
- •2.2 Напряженное состояние в точке
- •2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного
- •2.4 Тензор напряжений
- •2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*
- •2.6 Условия симметричности тензора напряжений
- •2.7 Доказательство равенства парных касательных
- •2.8 Общий случай напряженного состояния*
- •2.9 Главные напряжения
- •2.10 Нормальные и касательные напряжения
- •2.11 Максимальные касательные напряжения
- •2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений
- •2.13 Изображение напряженного состояния в точке
- •2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности
- •2.15 Уравнения равновесия
- •2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах
- •2.17 Уравнения равновесия в общем случае *
- •2.18 Краевая задача статики сплошной среды
- •3 Кинематика сплошной среды
- •3.2 Абсолютная и относительная деформация
- •3.3 Поле относительных смещений
- •3.4 Составляющие движения сплошной среды
- •3.5 Тензор малых деформаций
- •3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых
- •3.7 Тензоры конечных деформаций
- •3.8 Общий случай малых деформаций *
- •3.9 Анализ деформированного состояния в точке
- •3.10 Инварианты тензора малых деформаций
- •3.11 Главные деформации
- •3.12 Максимальные угловые деформации
- •3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности
- •3.14 Условия совместности деформаций
- •3.15 Определение перемещений по деформациям*
- •3.16 Поле скоростей
- •3.17 Первая теорема Гельмгольца
- •3.18 Тензор скоростей деформаций
- •3.19 Свойства тензора скоростей деформаций
- •3.20 Вторая теорема Гельмгольца*
- •4 Элементы термодинамики сплошных сред
- •4.1 Термодинамические системы и параметры состояния
- •4.2 Законы сохранения
- •4.3 Теоремы э. Нётер и свойства симметрии
- •4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности
- •4.5 Вывод уравнения неразрывности*
- •4.6 Теорема «живых сил»
- •4.7 Первое начало термодинамики
- •4.8 Уравнение теплопроводности
- •5 Основы теории упругости
- •5.1 Предмет теории упругости
- •5.2 Обобщенный закон Гука
- •5.3 Упругое изменение объема и формы
- •5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования
- •5.5 Постановка задач в теории упругости
- •5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях
- •5.7 Решения задач теории упругости в напряжениях
- •5.8 Плоское напряженное состояние*
- •5.9 Плоское деформированное состояние*
- •5.10 Плоская задача в моментной теории упругости *
- •5.11 Функция напряжений*
- •5.12 Способы решения задач теории упругости*
- •6 Основы теории пластичности
- •6.1 Предмет теории пластичности
- •6.2 Переход в пластическое состояние при растяжении
- •6.3 Условия пластичности
- •6.6 Экспериментальная проверка условий
- •6.7 Теории пластичности
- •6.8 Теория пластического течения
- •6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон
- •6.11 Области применимости различных теорий пластичности
- •6.12 Экстремальные принципы пластического
- •7 Применение теории пластичности в омд
- •7.1 Постановка задач при расчетах процессов омд
- •7.2 Математический аппарат и краевые условия при омд
- •7.3 Способы решения задач теории пластичности
- •1.Численные методы;
- •2.Прямые методы получения решений на основе экстремальных принципов мсс;
- •3.Уменьшения числа независимых переменных и искомых функций.
- •7.4 Частные виды напряженно-деформированных
- •1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;
- •2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.
- •7.5 Особенности плоского деформированного состояния
- •7.6 Осесимметричное деформированное состояние
- •7.7 Метод линий скольжения
- •7.8. Свойства линий скольжения
- •7.9 Простые сетки линий скольжения
- •7.10 Статические граничные условия в млс
- •7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство
- •7.12 Основные краевые задачи в млс*
- •7.13 Определение поля скоростей в млс*
- •7.14 Полные решения задач плоской деформации
- •Пластичности в омд”
- •8. Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры и анализа
- •8.1 Скаляры и векторы
- •8.2 Векторный базис
- •8.3 Сложение и умножение векторов
- •8.4 Тензоры 2-го ранга
- •8.5 Преобразование компонент тензора
- •8.6 Сложение и умножение тензоров
- •8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров
- •8.8 Умножение тензора на вектор
- •8.9 Главные оси тензора
- •8.10 Определение величины и направления главных компонент тензора
- •8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля
- •8.13 Векторное поле и векторные линии
- •8.14 Поток и дивергенция векторного поля
- •Теорема Остроградского–Гаусса:
- •8.15 Циркуляция и ротор векторного поля
- •8.16 Оператор («набла»)
- •8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка
- •8.18 Потенциальные векторные поля
- •8.20 Гармонические векторные поля
- •8.21 Основная теорема векторного анализа
- •8.22 Производная и градиент векторного поля
- •8.23 Поток тензорного поля
- •8.24 Дивергенция тензорного поля
- •8.25 Производная тензорного поля по направлению
- •Предметный указатель
- •Перечень ссылок
5.11 Функция напряжений*
Для решения плоской задачи в напряжениях необходимо интегрировать систему из 3-х уравнений при соответствующих граничных условиях. Оказывается, однако, что вместо определения трех функций σх, τух, σу можно найти только одну, т.н. функцию напряжений, а компоненты σij затем определить дифференцированием этой функции.
Функция напряжений F, называемая также функцией Эри, опре-деляется следующим образом:
(5.35)
Такая функция должна существовать, т.к. при подстановке (5.35) в уравнения равновесия получаются тождества:
Для определения вида уравнения, которому удовлетворяет функция напряжений, подставим (5.35) в уравнение Леви. Получим:
(5.36)
Уравнение (5.36) известно как бигармоническое: . Следовательно, решение плоской задачи теории упругости сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, которое удовлетворяет и статическим условиям на контуре.
Применение функции напряжений особенно эффективно при решении задач обратным или полуобратным способом, т.к. при этом уравнения равновесия и совместности будут удовлетворяться тождественно и, следовательно, остается только подобрать подходящее поле σij. В качестве примера рассмотрим задачу об определении поля напряжений в прямоугольной пластине, находящейся в плоском деформированном состоянии. Зададимся функцией напряжений в виде полинома 3-й степени:
Тогда напряжения выразятся линейными функциями:
Проверьте, что такая функция напряжений удовлетворяет бигар-моническому уравнению:
При различных значениях коэффициентов а, в, с, d получаются различные виды граничных условий:
1) а ≠ 0; в = с = d = 0; σх = 0; σу = ах; τху = 0;
Нагружение показано на рис. 5.5а.
2) а = в = с = 0; d ≠ 0; σх = dу; σу = 0; τху = 0
Нагружение представлено на рис. 5.5б.
3) а = d = с = 0; в ≠ 0; σх = 0; σу = ву; τху = – вх
Нагружение на рис. 5.5в (σу,τху условно показаны на разных объемах).
4) а = в = d = 0; с ≠ 0; σх = сх; σу = 0; τху = –су
Нагружение – на рис. 5.5г.
а) б)
в) в)
г)
Рисунок 5.5 − Различные виды нагружений при ПДС
Используя принцип суперпозиции, можно комбинировать различные виды нагружений для получения заданного распределения напряжений на границе путем видоизменения коэффициентов a,b,c и d. Это, одновременно, дает и решение задачи.
Если для аппроксимации граничных условий необходимы нелинейные зависимости (квадратические, кубические и т.д.), то необходимо в качестве функции напряжений брать полиномы более высокого порядка (четвертого, пятого и т.д.).
Для решения задач с непрямоугольной формой области можно воспользоваться методом конформных отображений [18]. По форме области после деформации разыскивается определенными методами функция комплексного переменного, конформно отображающая данную область на прямоугольник вместе с граничными условиями. Решается задача для прямоугольной области, а затем производится обратное преобразование полученных функций для компонент σij.
Для решения прямой задачи при помощи функции напряжений нужно иметь для нее граничные условия. Они находятся при помощи т.н. «стержневой аналогии» [10]. Зная приложенные к контуру тела нагрузки, можно определить значение функции напряжения F и ее нормальной производной ∂F/∂n как изгибающий момент и продольную силу в стержне, охватывающем контур поперечного сечения тела, разрезанном в произвольном сечении.