2.13 Изображение напряженного состояния в точке

Большое практическое значение имеет круговая диаграмма напряжений или диаграмма Мора, представляющая собой плоский гео-

метрический образ напряженного состояния в точке. Она строится в осях - σ по оси абсцисс и τ - по оси ординат. Состоит из 3-х полуокружностей, диаметрами которых являются разности главных напря-жений (рис.2.13).

Рисунок 2.13 − Диаграмма Мора

Каждой точке на поверхности и внутри диаграммы соответствует

определенное напряженное состояние на какой-то площадке, проходя

щей через данную точку деформируемого тела. Координаты точек, лежащихна полуокружностях, соответствуют нормальным и касательным напряжениям, на площадках, проходящих через главные оси 1, 2 и 3 соответственно (рис. 2.14).

Рисунок 2.14 − Площадки напряжений на поверхности

диаграммы Мора

Точкам внутри диаграммы Мора ссответствуют произвольные площадки.

По круговой диаграмме можно наглядно увидеть экстремальность главных напряжений. Видно также, что максимальные касательные напряжения действительно равны полуразности главных напряжений. В случае равномерного растяжения или сжатия (т.е. когда σ_ij вы-рождается в шаровой тензор σ_оо) все три полуокружности круговой ди-аграммы стягиваются в точку, отстоящую по оси абсцисс от начала координат на σ_о.

При помощи круговой диаграммы Мора можно осуществлять анализ напряженного состояния в точке графическим способом.

2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности

напряжений

Рассмотрим площадку, равнонаклоненную к главным осям (рис.2.15). Эта площадка называется октаэдрической, т.к. если изобра-зить равнонаклоненные площадки во всех 8 октантах пространства, то получим правильный восьмигранник – октаэдр.

Рисунок 2.15 − Октаэдрическая площадка

В соответствии с (2.32) у октаэдрических площадок направляю-

щие косинусы будут равны: l = m = n = . Отсюда, учитывая (2.29), полное октаэдрическое напряжение:

p² _окт = 1/3 (σ₁² + σ₂² + σ₃²) (2.38)

По (2.30) находим нормальное октаэдрическое напряжение:

σ_окт = 1/3 (σ₁ + σ₂ + σ₃) = σ_о (2.39)

Касательное напряжение на октаэдрической площадке по (2.31):

(2.40)

В главных осях:

Учитывая (2.34), получим другую формулу для τ_окт :

На октаэдрических площадках нормальные напряжения являют-ся компонентами σ_о , а касательные выражаются через компоненты S_ij.

Действительно, (2.40) можно представить в эквивалентном виде:

,

т.к.

и т.д.

Отсюда:

Следовательно, τ_окт могут вызывать изменение только формы тела, происходящее, как известно, за счет компонент S_ij. Компоненты σ_оо могут вызывать только упругие объемные деформации твердых тел. Поэтому появление пластических деформаций обусловлено достижением компонент S_ij определенных, критических для данного материала, значений. Однако для индикации достижения пластического состояния удобнее пользоваться не τ_окт, а величинами, ему пропорциональными, называемыми интенсивностями нормальных σ_i и касательных Т напряжений:

(2.41)

(2.42)

(2.43)

При одноосном растяжении или сжатии σ_i равно единственному главному напряжению σ₁. Это дает возможность, в соответствии с гипотезой единой кривой (см.п.6.8), использовать диаграммы растяжения σ(ε) для нахождения диаграмм деформирования σ_i(ε_i).