3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых

деформаций

Рассмотрим геометрическую интерпретацию компонент Т_ε. В прямоугольной декартовой системе координат элементарным объемом будет куб. Три деформации ε_х , ε_y и ε_z являются относительными линейными деформациями (см. п.3.2). Недиагональные элементы матрицы Т_ε, как разности недиагональных компонент тензоров (3.5) и (3.9), являются угловыми деформациями или сдвигами. Они представляют собою углы, на которые изменяются первоначально прямые углы между гранями элементарных объемов (т.к. при малых деформациях углы в радианах приблизительно равны их тангенсам) (см. рис. 3.5).

Рисунок 3.5 − Угловые деформации

Правило индексов для деформации:

Линейная деформация имеет индекс той оси, по которой происходит удлинение или укорочение ребра. Угловая деформация имеет первый индекс той оси, от которой, и второй – к которой происходит поворот грани при деформации.

Рассмотрим вопрос о порядке расположения индексов в обозначениях угловых деформаций. Изображенные на рис. 3.6 а), б), в) сдвиги одинаковы, т.к. деформацию рис. 3.6 а) можно получить из деформации рис. 3.6 б) жестким поворотом элементарного объема, без дополнительной деформации. Вариант рис. 3.6 в) эквивалентен вариантам а) и б).

а) б) в)

Рисунок 3.6 − Взаимность сдвигов

Следовательно, в случае малых деформаций имеют место соотно-шения:

γ_ху = γ_ух; γ_уz = γ _zу; γ_xz = γ_zx,

которые называются взаимностью сдвигов.

Коэффициенты ½ в тензоре (3.12) взяты для того, чтобы сделать его симметричным.

Правило знаков для деформаций:

Линейная деформация имеет знак (+), если происходит удлинение ребра куба и наоборот.

Знак угловой деформации находится по выражению:

где признак β₁ имеет знак ( + ), если угол между гранями элементарного объема при деформации уменьшается;

признак β₂ имеет знак ( + ), если ось, от которой происходит поворот грани имеет положительное направление;

признак β₃ имеет знак ( + ), если ось, к которой происходит поворот грани, имеет положительное направление.

Примеры применения правил индексов и знаков приведены на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 − Примеры на правила индексов и знаков

3.7 Тензоры конечных деформаций

Рассмотрим общий случай больших деформаций, когда траектории перемещения элементарных объемов являются кривыми (рис.3.8). В этом случае приращения компонент вектора смещений будут нелинейными и поэтому при разложении в ряд Тейлора функции (х, у,

z) нужно учитывать бесконечно малые члены второго порядка малости.

Рисунок 3.8 − Конечные деформации

При описании движения по Эйлеру получим симметричный тензор, характеризующий компоненты конечной (большой) деформации:

или в тензорной форме записи:

(3.13)

Этот тензор называется тензором Альманси.

Если опустить в (3.13) члены второго порядка малости, то тензор Альманси превратится в тензор малых деформаций (3.12).

Большие деформации в переменных Лагранжа описываются симметричным тензором Грина:

(3.14)

Из-за сложности математического выражения тензоры Альманси и Грина не используются при аналитическом решении задач ОМД. Однако их применяют при экспериментальных исследованиях деформированного состояния [12].

В случае малых деформаций тензор Грина переходит в лагранжев тензор L_ε , который при принятых допущениях равен Т_ε. Поэтому в теории малых деформаций используется лагранжево описание движения при сохранении системы обозначений по Эйлеру. Это дает возможность проследить все геометрические изменения при переходе от начального состояния к конечному (после деформации).