4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности

Закон сохранения массы является одним из фундаментальных законов классической физики. Установлен он опытным путем и в макромире выполняется с очень высокой степенью точности.

Масса любой изолированной физической системы не измняется со временем.

Формально он может быть записан в виде:

,

где m – масса физической системы.

Однако в МСС, где приходится иметь дело с телами, непрерывно заполняющими некоторые части пространства, вместо массы исполь-зуется понятие плотности сплошной среды.

Предел отношения массы m некоторого объема W сплошной

среды к этому объему при его стремлении к нулю называется плотностью среды в точке, к которой стягивается данный объем:

Используя понятие плотности, закон сохранения массы можно выразить следующим образом:

(4.1)

При решении задач МСС закон сохранения массы обычно используется в виде дифференциального уравнения, именуемого уравнением неразрывности в переменных Эйлера:

(4.2)

Оно выражает закон сохранения массы в дифференциальной форме. Если среда однородна и ее плотность не изменяется со временем (что с достаточной для практики точностью имеет место у металлов в пластическом состоянии), то уравнение неразрывности превращается в уравнение несжимаемости:

(4.3)

4.5 Вывод уравнения неразрывности*

Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим изменение плотности частиц сплошной среды со временем.

Распределение плотности в сплошной среде можно задать как с точки зрения Лагранжа, так и с точки зрения Эйлера. В первом случае и изменение плотности будет частной производной по времени , т.к. плотность у частицы, а не у точки пространства. Координаты частицы (переменные Лагранжа) при этом постоянны.

В переменных Эйлера плотность будет функцией координат точек пространства и времени ρ = ρ (х,у,z,τ) и для вычисления той же величины сначала нужно перейти к переменным Лагранжа:

ρ (х,у,z,τ) = ρ [ x (х,у,z,τ); y (х,у,z,τ); z (х,у,z,τ); τ ]

Затем уже можно найти изменение плотности индивидуальной частицы с точки зрения Эйлера, используя правило дифференцирования сложной функции и учитывая, что в данном случае аргументы х, у, z являются функциями только одной переменной τ (т.к. x_i = соnst).

Из математики известно, что если функция нескольких переменных F=F(u,v,w,τ) в качестве своих агументов имеет функции u = u (х,у,z,τ); v = v (х,у,z,τ); w = w (х,у,z,τ), и если аргументы u, v, w в частном случае зависят только от одной переменной, например τ, то тогда функция F (u, v, w, τ) является функцией фактически только одной переменной τ. В этом случае ее обыкновенная производная называется полной и она имеет вид:

Поэтому в нашем случае:

(4.4)

В (4.4) производные являются компонентами вектора скорости

V_i , т.к. берутся при постоянных X_i. Отсюда:

(4.5)

Производная характеризует изменение во времени плотности частицы сплошной среды и называется субстанциональной или индивидуальной производной. Производная характеризует изменение плотности в данной точке пространства и называется локальной или местной производной. Выражению можно придать вид: V_i grad ρ. Оно называется конвективной производной по времени и характеризует изменение плотности за счет перемещения частиц сплошной среды разной плотности из одной точки пространства в другую.

Произведя перегруппировку членов в (4.5), получим искомое выражение для изменения плотности во времени с точки зрения Эйлера:

= – V_i grad ρ +

Из него видно, что изменение плотности в некоторой точке пространства х_i обусловлено, во-первых, переносом (приходом в нее новых частиц с иной плотностью), а во-вторых – изменением плотности самих частиц с течением времени.

Перенос описывается конвективной производной. Она может быть равна нулю, когда нет движения сплошной среды (V_i = 0), или когда поле плотности (или любой другой скалярной функции, например, температуры), однородно (grad ρ = 0). Если поле стационарно, то равна нулю субстанциональная производная и изменение плотности в

точке пространства полностью обусловлено переносом.

Теперь рассмотрим изменение во времени интеграла:

(4.6)

Оно происходит как от изменения плотности ρ, так и объема W, поскольку интеграл берется по объему части среды, а не пространства (по т.н. «подвижному объему»). Если бы объем W был постоянен, то за время dτ функция ρ получила бы приращение ,а интеграл - приращение:

Если функция ρ остается неизменной, а изменяется объем W ,то это происходит потому, что некоторые частицы сплошной среды входят или выходят через поверхность F в объем W (рис.4.2).

Рисунок 4.2 − Изменение плотности за счет переноса

Через элемент dF этой поверхности за время dτ может выйти

объем . За счет этого интеграл (4.6) получит приращение:

.

Следовательно, полное приращение интеграла будет равно:

Его производная по времени:

(4.7)

Используя теорему Остроградского–Гаусса, преобразуем 2-й интеграл в объемный:

После подстановки в (4.7) и учета (4.5) имеем:

Поскольку объем W был взят произвольным, то:

Учитывая, что , окончательно получим:

,

что и требовалось.