- •8 Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры
- •1.1 Задачи курса «Механика сплошных сред»
- •1.2 Предмет механики сплошной среды
- •1.3 Методы механики сплошной среды
- •1.4 Основные принципы механики сплошной среды
- •1.5 Элементарный объем
- •1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера
- •1.7 Движение и равновесие сплошной среды
- •2 Статика сплошной среды
- •2.1 Напряжение в точке
- •2.2 Напряженное состояние в точке
- •2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного
- •2.4 Тензор напряжений
- •2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*
- •2.6 Условия симметричности тензора напряжений
- •2.7 Доказательство равенства парных касательных
- •2.8 Общий случай напряженного состояния*
- •2.9 Главные напряжения
- •2.10 Нормальные и касательные напряжения
- •2.11 Максимальные касательные напряжения
- •2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений
- •2.13 Изображение напряженного состояния в точке
- •2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности
- •2.15 Уравнения равновесия
- •2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах
- •2.17 Уравнения равновесия в общем случае *
- •2.18 Краевая задача статики сплошной среды
- •3 Кинематика сплошной среды
- •3.2 Абсолютная и относительная деформация
- •3.3 Поле относительных смещений
- •3.4 Составляющие движения сплошной среды
- •3.5 Тензор малых деформаций
- •3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых
- •3.7 Тензоры конечных деформаций
- •3.8 Общий случай малых деформаций *
- •3.9 Анализ деформированного состояния в точке
- •3.10 Инварианты тензора малых деформаций
- •3.11 Главные деформации
- •3.12 Максимальные угловые деформации
- •3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности
- •3.14 Условия совместности деформаций
- •3.15 Определение перемещений по деформациям*
- •3.16 Поле скоростей
- •3.17 Первая теорема Гельмгольца
- •3.18 Тензор скоростей деформаций
- •3.19 Свойства тензора скоростей деформаций
- •3.20 Вторая теорема Гельмгольца*
- •4 Элементы термодинамики сплошных сред
- •4.1 Термодинамические системы и параметры состояния
- •4.2 Законы сохранения
- •4.3 Теоремы э. Нётер и свойства симметрии
- •4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности
- •4.5 Вывод уравнения неразрывности*
- •4.6 Теорема «живых сил»
- •4.7 Первое начало термодинамики
- •4.8 Уравнение теплопроводности
- •5 Основы теории упругости
- •5.1 Предмет теории упругости
- •5.2 Обобщенный закон Гука
- •5.3 Упругое изменение объема и формы
- •5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования
- •5.5 Постановка задач в теории упругости
- •5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях
- •5.7 Решения задач теории упругости в напряжениях
- •5.8 Плоское напряженное состояние*
- •5.9 Плоское деформированное состояние*
- •5.10 Плоская задача в моментной теории упругости *
- •5.11 Функция напряжений*
- •5.12 Способы решения задач теории упругости*
- •6 Основы теории пластичности
- •6.1 Предмет теории пластичности
- •6.2 Переход в пластическое состояние при растяжении
- •6.3 Условия пластичности
- •6.6 Экспериментальная проверка условий
- •6.7 Теории пластичности
- •6.8 Теория пластического течения
- •6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон
- •6.11 Области применимости различных теорий пластичности
- •6.12 Экстремальные принципы пластического
- •7 Применение теории пластичности в омд
- •7.1 Постановка задач при расчетах процессов омд
- •7.2 Математический аппарат и краевые условия при омд
- •7.3 Способы решения задач теории пластичности
- •1.Численные методы;
- •2.Прямые методы получения решений на основе экстремальных принципов мсс;
- •3.Уменьшения числа независимых переменных и искомых функций.
- •7.4 Частные виды напряженно-деформированных
- •1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;
- •2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.
- •7.5 Особенности плоского деформированного состояния
- •7.6 Осесимметричное деформированное состояние
- •7.7 Метод линий скольжения
- •7.8. Свойства линий скольжения
- •7.9 Простые сетки линий скольжения
- •7.10 Статические граничные условия в млс
- •7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство
- •7.12 Основные краевые задачи в млс*
- •7.13 Определение поля скоростей в млс*
- •7.14 Полные решения задач плоской деформации
- •Пластичности в омд”
- •8. Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры и анализа
- •8.1 Скаляры и векторы
- •8.2 Векторный базис
- •8.3 Сложение и умножение векторов
- •8.4 Тензоры 2-го ранга
- •8.5 Преобразование компонент тензора
- •8.6 Сложение и умножение тензоров
- •8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров
- •8.8 Умножение тензора на вектор
- •8.9 Главные оси тензора
- •8.10 Определение величины и направления главных компонент тензора
- •8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля
- •8.13 Векторное поле и векторные линии
- •8.14 Поток и дивергенция векторного поля
- •Теорема Остроградского–Гаусса:
- •8.15 Циркуляция и ротор векторного поля
- •8.16 Оператор («набла»)
- •8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка
- •8.18 Потенциальные векторные поля
- •8.20 Гармонические векторные поля
- •8.21 Основная теорема векторного анализа
- •8.22 Производная и градиент векторного поля
- •8.23 Поток тензорного поля
- •8.24 Дивергенция тензорного поля
- •8.25 Производная тензорного поля по направлению
- •Предметный указатель
- •Перечень ссылок
7.12 Основные краевые задачи в млс*
Задача о внедрении штампа решалась при помощи простых СЛС. Такие сетки довольно часто использовались при анализе различных процессов ОМД (см.,например, [42]). При этом приходилось идеализировать процессы, спрямляя криволинейные границы и вводя предположения о равномерном распределении контактных напряжений.
В общем случае для решения задач плоской деформации МЛС можно использовать конечно-разностные соотношения, вытекающие из (7.21) и свойств ЛС. Это приводит к трем основным краевым задачам: начальной характеристической, задаче о начальных значениях и смешанной задаче.
Начальная характеристическая задача, или задача Римана, возникает, когда заданы отрезки ЛС ОА и ОВ, на которых величины σ0 и θ известны. Тогда можно определить σ0 и θ в криволинейном четырехугольнике ОАСВ, ограниченном четырьмя ЛС (рис.7. 29).
Для численного решения задачи линии ОА и ОВ разбиваются на достаточно малые части точками 1,0; 2,0 ... m,0 и 0,1; 0,2 ... 0,n. Пересечения ЛС, проходящих через узлы сетки, обозначаются m,n. Имеется ввиду аналитическое «разбиение», когда задаются координаты узлов и точек, хотя то же можно делать и графически.
Если СЛС уже построена, то по 1-й теореме Генки величина σ0 в произвольном узле m,n области ОАСВ равна:
, (7.26)
причем
Рисунок 7.29 − Задача Римана
(7.27)
Для построения СЛС численным методом необходимо определить координаты узлов m,n по координатам узлов m-1,n и m,n-1 и по углам θ. Для этого необходимо иметь уравнения ЛС. Т.к. бесконечномалые отрезки любой кривой можно заменить такими же отрезками ка-сательной к ней, то дифференциальные уравнения ЛС, в соответствии с принятыми обозначениями (см. рис. 7.16), имеют следующий вид:
для семейства а
для семейства b
В конечно-разностном виде они будут выглядеть так (полагаем, что угол наклона хорд, заменяющих малые дуги, равен среднему значению углов наклона в крайних точках):
(7.28)
Следовательно:
(7.29)
Начиная с узла 1,1, по уравнениям (7.29) можно найти координаты узлов во всей области ОАСВ. Величины σ0 и θ находятся по (7.26) и (7.27).
Важное значение имеет вырожденный случай, когда одна из ЛС (ОВ или ОА) стянута в точку и в узле О сходятся все ЛС семейства а или b (рис.7.30).
Рисунок 7.30 − Вырождекнный случай задачи Римана
Известны σ0 и θ на ОА и угол АОС в вершине О. Точка О является особой, в ней величина σ0 терпит разрыв. Поэтому точка О исключается из рассмотрения проведением из точки 1,0 ЛС b1 в виде дуги окружности. Угол АОС делится на достаточно малые части и проводятся начальные участки линий скольжения 0,1; 0,2 ... 0,n . Таким образом становятся известными углы θ в точках ЛС b1. По величинам
и для узла 1,0 линии ОА находим параметр λ для ЛС b1:
Далее находим σ0 в i-тых узлах линии скольжения b1:
Так вырожденный случай сводится к основному.
Задача о начальных значениях называется еще задачей Коши и формулируется следующим образом: на гладкой линии, не совпадающей с ЛС и пересекаемой каждой ЛС только один раз (обычно это часть контура исследуемой области), заданы σ0 и θ, непрерывные вместе со своими вторыми производными. Тогда можно найти σ0 и θ в криволинейном треугольнике АВС, сторонами которого являются линия АВ и линии скольжения АС и ВС (рис.7.31).
Дуга АВ разбивается на достаточно малые части точками 1,1; 2,2
... m,m; m+1,m+1. Через точки m,m; m+1,m+1 проводим ЛС семейств а и b с точкой их пересечения m,m+1. Из условия постоянства пара-метров ζ и λ на ЛС а и b получим:
(7.30)
Рисунок 7.31 − Задача Коши
Решая систему уравнений (7.30), находим и . Координаты узлов определяются при помощи уравнений (7.29). Дальнейшее решение идет по схеме начальной характеристической задачи.
Смешанная задача возникает, когда на отрезке ЛС, например ОА, известны σ0 и θ, а на некоторой линии, не являющейся ЛС, известен угол θ, под которым к ней подходят ЛС семейства а. В таком случае решение определено в криволинейном треугольнике, ограниченном ЛС
ОА и АВ и линией ОВ (рис. 7.32).
Возможны два случая:
1) Угол θ точке О на ЛС ОА и линии ОВ одинаковы. Тогда разбиваем ОА на достаточно малые части точками 1,0; 2,0 ... m,0. Проводим из точки 1,0 перпендикуляр к ЛС ОА до пересечения в точке с' с линией ОВ. Т.к. значения θ на ОВ известны, то можно найти θ в точке с' . Затем находим среднее значение θср в точках 1,0 и с' и из точки 1,0 про-водим линию, наклоненную к оси X под углом θср.
Рисунок 7.32 − Смешанная задача
Восстанавливаем перпендикуляр к этой линии в точке 1,0 до пересечения с ОВ в точке с''. Подобные построения повторяются до тех пор, пока различие в предыдущем и последующем положениях точки с не станут достаточно малыми. В результате находим положение точки 1,1. Затем по (7.23) находим параметр λ для линии скольжения семейства b, проходящей через точки 1,0 и 1,1:
Далее можно найти σ0 в точке 1,1:
Величины σ0 и θ в узле 2,1 и последующих находятся как в начальной характеристической задаче. Положение точки 2,2 и находятся, как и 1,1. Так, начиная с точки 1,1, постепенно решается смешанная задача в первом случае.
2) Углы θ на линиях ОВ и ОА не равны между собой, например θОВ >
θОА (рис.7.33):
Рисунок 7.33 − Второй случай смешанной задачи
Тогда область АОВ разбивается на две части: АОА' и А'ОВ так, чтобы угол θ в точке О на линиях ОВ и ОА' был одинаковым. Для области АОА' будет иметь место вырожденная задача Римана, а в А'ОВ – первый случай смешанной задачи. Комбинациями из трех рассмотренных краевых задач может быть построена любая СЛС, если известн ы СГУ.