8. Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры и анализа
8.1 Скаляры и векторы
При моделировании движения сплошной среды для его описания вводятся различные параметры (скорость, ускорение и т.п.), являющиеся переменными величинами. Величины эти могут иметь различную физическую природу, в т.ч. быть скалярными и векторными [11].
Скаляр – переменная величина, полностью определяемая в любой системе координат одной компонентой (числом), не изменяющейся при повороте системы координат.
Примеры: масса, работа, температура, мощность.
Вектор – переменная величина, определяемая в любой системе координат n компонентами (где n – размерность пространства), которые при повороте системы координат изменяется по соотношению:
,
(
i,
k
= 1, 2, … n),
(8.1)
где
– косинусы углов между осями старой и
новой систем координат (т.н. направляющие
косинусы);
– компоненты
вектора в новой системе координат;
Ак – компоненты вектора в старой системе координат.
Примеры: сила, скорость, напряжение в точке.
В формуле (8.1) подразумевается суммирование по повторяющемуся («немому») индексу, т.е. сокращенная, или тензорная запись. В развернутом виде (для 3-мерного пространства при n = 3) она запишется так:
(8.2)
Т.о. для определения 3 компонент вектора в новой системе координат нужно знать 9 направляющих косинусов углов между осями старой и новой систем координат (рис.8.1):
Рисунок 8.1 − Направляющие косинусы
Пример: Определить компоненты вектора:
в новой системе координат, заданной матрицей направляющих косину-сов:
Решение:
=0,623·2,7+0,38·3,4+0,683·5,3=
6,95;
=
0,74·2,7-0,57·3,4-0,357·5,3 = -1,83;
=0,254·2,7+0,728·3,4-0,636·5,3=-0,21
Ответ:
8.2 Векторный базис
Вышеприведенное определение вектора как совокупности n чисел, преобразующихся при повороте системы координат по закону (8.1), подразумевает наличие векторного базиса [11].
Векторный
базис – система n
линейно независимых векторов
(ортов
в случае прямоугольной системы координат),
обладающих тем свойством, что для всякого
вектора
существует разложение:
,
причем
компоненты (коэффициенты
разложения)
определятся
единственным образом.
В
случае декартовой системы координат в
трехмерном пространстве базисные
векторы (орты) обозначаются
если их модули равны 1. Орты задают
направления компонент вектора и тогда
величины компонент выражаются просто
числами (рис.8.2).
Базисные векторы совпадают по направлению с осями координат. При изменении осей координат изменяется и базис (происходит переход к новой совокупности n линейно независимых, т.е. некомпланарных векторов).
Рисунок 8.2 − Базисные векторы - орты