7.8. Свойства линий скольжения
Линии скольжения обладают рядом свойств, изученных в основном Г.Генки и Л.Прандтлем, которые позволяют строить СЛС буквально при помощи линейки и транспортира. Свойства эти выражены в виде теорем о ЛС. Рассмотрим некоторые важнейшие из свойств ЛС.
1. Первая теорема Генки:
При переходе от одной ЛС к другой одного семейства вдоль ЛС другого семейства изменения величин и не зависят от того, по какой ЛС другого семейства совершался переход.
Обозначим параметры ζ и λ ЛС а1,а2,b1,b2 соответственно через ζ1,ζ2,λ1 и λ2. Точки пересечения ЛС разных семейств называются узлами СЛС. Обозначим их буквами А с индексами. Тогда по (7.24) для узлов А11,А12,А21 и А22 будем иметь:
Геометрическая интерпретация этих соотношений показана на рисунке 7.20.
Рисунок 7.20 − К докакзательству 1-й теормы Генки
Отсюда следует:
что и требовалось доказать.
Полученные соотношения геометрически интерпретируются
следующим образом:
угол пересечения касательных к двум линиям скольжения одного семейства в узлах пересечения линиями скольжения другого семейства неп зависит от выбора линий скольжения другого семейства.
Следствием из 1-й теоремы Генки являются утверждения:
1. Если некоторый отрезок линии скольжения одного семейства (b) между двумя линиями скольжения другого семейства (а) будет прямым, то и все остальные отрезки линий скольжения этого семейства, проходящие между этими же линиями скольжения другого семейства, также будут прямыми, причем длина их будет оди-
наковой
(рис.7.21):
Рисунок 7.21 − Следствие из 1-й теоремы Генки
2. Вдоль линии скольжения напряжение σ0 меняется пропорционально углу θ.
Действительно, из (7.23) следует, что:
для семейств а и b соответственно.
3. Если известно значение σ0 в каком-либо узле СЛС, то оно может быть определено в любом узле сетки.
Пусть в узле А известно σ0А. Т.к. сетка известна (рис.7.22), то θА
Рисунок
7.22 − Определение
в узлах СЛС
тоже
известен. Тогда
.
В узле B
находим:
и
.
Отсюда получаем:
.
7.9 Простые сетки линий скольжения
Сетки, у которых хотя бы одно из семейств линий скольжения состоит из прямых линий, называются простыми.
Вдоль
прямой ЛС угол θ=соnst,
а т.к. параметр ζ
(или λ)
также равен константе, то из (7.23) следует,
что σ0
вдоль прямой ЛС постоянно. Кроме того,
из (7.23) следует, что и парметр ЛС другого
семейства, например b,
состоящего не из прямых линий, вдоль
прямой ЛС также постоянен,а т.к. он
постоянен и вдоль ЛС своего семейства,
то он постоянен во всей сетке. Примером
может служить центрированная СЛС
(рис.7.23).
Рисунок 7.23 − Центрированная СЛС
Здесь
const
и
.
Если в некоторой области оба семейства
ЛС состоят из прямых линий, то в этой
области параметры ζ
и λ
постоянны и σ0=const,
т.е. напряжения не меняются. Такая СЛС
называется равномерной (рис.7.24).
Рисунок 7.24 − Равномерная СЛС
Легко видеть, что к области с равномерной сеткой может примыкать только простая СЛС. Пусть в области АВDE СЛС равномерная (рис.7.25).
Рисунок 7.25 − Простые СЛС
Прямая линия АВ является границей области АBED, но принадлежит и соседней области ABC. На основании следствия из 1-й тео-ремы Генки в области ABC одно семейство ЛС (семейство а) должно состоять из прямых линий. Второе (b) – из дуг окружностей, чтобы оба семейства были ортогональны друг другу. Поэтому сетка в области ABC является простой.