7.14 Полные решения задач плоской деформации

Между полями скоростей и деформаций существует связь, в общем случае устанавливаемая одной из теорий пластичности. В МЛС такая связь дается уравнениями (7.31). Вместе с тем статическая определимость задачи ПДС для жестко-пластических сред дает возможность находить поле напряжений независимо от поля скоростей. Таких полей, удовлетворяющих уравнениям равновесия, произвольным статическим граничным условиям (СГУ) и условию пластичности может быть бесконечно много. Они называются статически допустимыми (см.п.6.12) и дают нижнюю оценку нагрузки (при условии возможности продолжения поля напряжений в жесткие зоны так, чтобы условие пластичности нигде не превышалось. Это - условие сопряжения пластических и жестких зон). Однако в действительности реализуется только одно из статически допустимых полей. От остальных оно отличается тем, что согласованное с ним поле скоростей является кинематически допустимым – оно удовлетворяет уравнению несжимаемости (для жестко-пластических сред и неразрывности – в общем случае) и кинематическим граничным условиям (КГУ). Решение, в котором найдены одновременно статически допустимое поле напряжений и кинематически допустимое поле скоростей называются полными, если выполнено еще одно условие [28]:

− диссипация (рассеивание) энергии пластического деформирования в пластических зонах должна быть положительной . Это условие согласованности полей напряжений и скоростей должно проверятся из-за того, что при выводе (7.9) было проведено сокращение на положительный множитель .

Если такие поля найдены, то одновременно становятся полностью известными и действительные граничные условия, по которым можно найти энергосиловые параметры процесса и форму тела после деформации (см.п.7.1).

Проблема однако в том, что в действительности граничные условия всегда известны только частично (см.п.7.3) и поэтому согласова-ние полей {σ_ij} и {V_i} может выполнятся только по части КГУ (обычно это нормальная составляющая скорости движения инструмента). Следовательно и получение полного решения невозможно без эксперимен-тального нахождения недостающих граничных условий.

При решении жестко-пластических задач возникает еще и проблема неединственности решения (см.[28]). Пластические зоны (очаг деформации) должны быть отделены от жестких, очевидно, линиями разрыва скоростей. Известно, что таковыми являются ЛС. Поэтому форма ЛС должна выбираться так, чтобы вне пластических зон ЛС удовлетворяли всем характерным для них требованиям и, в частности, выходили на свободные поверхности под углом 45⁰ к контуру тела. Этим и обусловлено требование возможности продолжения СЛС в жесткие зоны статически допустимым образом. Однако это требование является слабым и допускает множество вариантов, что иллюстрирует задача о внедрении штампа (п.7.11). Неединственности бы не было, если бы длина линий AD и DG была найдена экспериментально.

Контрольные вопросы к гл. „Применение теории

Пластичности в омд”

1. По каким исходным данным решаются задачи ОМД?

2. Как формулируется 1-я основная задача ОМД?

3. Как формулируется 2-я основная задача ОМД?

4. Как формулируется 3-я основная задача ОМД?

5. Какие упрощения вводятся при решении задач ОМД?

6.Сколько уравнений дает теория пластичности для решения задач

ОМД?

7. Что относится к начальным условиям при ОМД?

8. Что относится к граничным условиям при ОМД?

9. Какие бывают граничные условия в задачах ОМД?

10.Какими способами решаются задачи ОМД?

11.Какие бывают частные виды напряженно-деформированных

состояний?

12.Что называется чистым сдвигом?

13.Что называется плоским напряженным состоянием?

14.Что называется плоским деформированным состоянием?

15.В чем особенность напряженного состояния при плоской деформа-ции?

14.При каких условиях возникает осесимметричное деформированное состояние?

15.Какие бывают частные виды осесимметричной деформации?

16.Что является линиями Чернова-Людерса?

17.Что называется линиями скольжения?

18.Почему сетка линий скольжения ортогональна?

19.Какие выражения являются интегралами Генки?

20.Как формулируется 1-я теорема Генки?

21.Какие сетки линий скольжения называются простыми?

22.Как выражаются статические граничные условия в методе линий скольжения?

23.Каковы основные краевые задачи уравнений Леви?

24.Как формулируется задача Римана?

25.Как формулируется задача Коши?

26.Как формулируется смешанная задача?

27.Какими свойствами обладают характеристики уравнений для

скоростей в методе линий скольжения?

28.Как выглядят соотношения Гейрингер?

29.Что называется годографом в методе линий скольжения?

30.Какие решения задач ПДС называются полными?

31.В чем причина неединственности решений задач при использовании модели жестко-пластической среды?