5.9 Плоское деформированное состояние*
Если при деформировании тела его перемещения в плоскости, перпендикулярной плоскости действия сил, ограничены или же тело имеет один размер намного больше двух других и нагружено системой сил, не изменяющихся по большому размеру, то имеет место плоское деформированное состояние (ПДС), которое довольно часто встречается при решении задач теории упругости. Характерной особенностью этого вида напряженно-деформированного состояния является отсутствие депланации (искривления) сечений в плоскости, нормальной продольной оси большего размера тела. На рисунке 5.4 показаны примеры ПДС:
Рисунок 5.4 − Плоское деформированное состояние
Перемещения uz в этом случае равны нулю (и εz = 0 также), деформации γyz = γzx = 0 из-за невозможности депланации сечений, параллельных плоскости ХОУ, и деформация поэтому называется плоской. Однако напряженное состояние будет объемным, т.к. σz ≠ 0, чтобы εz = 0, а также τyz = τzx = 0, чтобы не было депланаций.
Тензоры напряжений и деформаций при ПДС:
;
(5.28)
Напряжение σz определяется из условия:
,
откуда
(5.29)
Уравнение равновесия и совместности деформаций, как при ПНС. Уравнение обобщенного закона Гука изменяют свой вид:
(5.30)
Для решения задач ПДС в перемещениях имеется 2 уравнения относительно uх и uу:
(5.31)
Очевидно, что от соотвествующих уравнений ПНС (5.24) они отличаются только константами λ и λ1. Поэтому решения, полученные для ПНС, являются одновременно и решениями для ПДС при соответствующем изменении постоянных.
При отсутствии объемных сил (или их постоянстве), уравнения ПДС в напряжениях ничем не отличаются от аналогичных уравнений (5.27) для ПНС. Важно отметить тот факт, что в этом случае уравнения плоской задачи не содержит упругих констант материала. Это означает, что равновесие не зависит от модулей упругости и полностью определяется формой тела и характером его нагружения. Это используется для экспериментального определения полей напряжений и деформаций методом фотоупругости, когда модель из оптически активного материала (типа целлулоида) заменяет металлическую натуру [12].
5.10 Плоская задача в моментной теории упругости *
Если градиенты напряжений велики и и тензор напряжений уже нельзя считать симметричным, применяется моментная теория упругости. При учете моментных напряжений уравнения равновесия принимают вид:
(5.23)
Касательные
напряжения не обязательно равны друг
другу:
.
Количество
уравнений совместности увеличивается
до четырех: к одному обычному (5.23)
добавляется три новых, связывающих
компоненты деформации
и кривизны
граней,
параллельных осям х
и у, для того,
чтобы выполнялся принцип сплошности.
В результате получается следующая
система уравнений:
(5.33)
Уравнений, выражающих зависимости компонент деформаций от компонент смещений, становится шесть:
(5.34)
где ωz – жесткий поворот элементарного объема вокруг оси z.
К первым двум уравнениям обобщенного закона Гука для ПНС (5.22) присоединяются:
а) выражение для относительного сдвига:
б) выражения, связывающие кривизну граней с вызывающими их напряжениями:
где В – изгибно–крутильный модуль упругости.
В приведенных 14 уравнениях содержится 14 неизвестных и т.о. задача принципиально разрешима.