3.17 Первая теорема Гельмгольца

Движение элементарного объема сплошной среды в каждый момент времени можно разложить на квазитвердое движение со скоростью _кт , равной сумме поступательной скорости _п какой–либо точки в этом элементарном объеме и вращательной скорости относительно этой точки, соответствующей вектору угловой скорости , и деформационное движение со скоростью V_деф:

.

Для доказательства рассмотрим две бесконечно близкие точки и . Скорость в точке М равна , а в точке N – = . Дифференциал равен производной поля скоростей по векторному аргументу на дифференциал независимой переменной :

Производная называется тензором изменения скоростей:

Разлагая этот тензор на симметричную и антисимметричную части, получим:

(3.42)

Симметричная часть (3.42) называется деформацией векторного поля и является тензором скоростей деформаций. Антисимметричная называется тензором вращений и эквивалентна вектору Отсюда:

,

что и требовалось доказать.

3.18 Тензор скоростей деформаций

Как уже указывалось, симметричная часть тензора изменения

скоростей называется тензором скоростей деформаций. В развернутом

нутом виде матрица этого тензора имеет вид:

(3.43)

Физический смысл компонент тензора скоростей деформаций T_ξ или установим следующим образом. Т.к. то

Аналогично для недиагональных компонент (3.43):

Т.о. диагональные компоненты , будучи производными линейных деформаций по времени, являются скоростями относительных удлинений (укорочений) сплошной среды в направлениях координатных осей. Недиагональные компоненты , будучи производными угловых деформаций по времени, являются скоростями изменения углов между гранями элементарных кубов, ортогональных соответствующим осям координат. Размерность компонент . Скорость дефорции следует отличать от такого технологического параметра, как скорость деформирования, под которой понимают скорость хода деформирующего инструмента. Ее размерность – , как и у скорости течения металла в пластическом состоянии.

3.19 Свойства тензора скоростей деформаций

Тензор скоростей деформаций обладает всеми свойствами симметричного тензора. У него имеется бесконечное множество инвариантов, которые могут быть образованы линейными комбинациями из базисных. Три его базисных инварианта равны:

Первый инвариант есть скорость изменения относительного объема. Это следует из физического смысла дивергенции скорости:

(3.44)

Базисные инварианты являются коэффициентами его характери-

стического уравнения, по которому можно найти величины главных

скоростей деформаций:

:

Главные скорости деформаций действуют вдоль трех взаимно перпендикулярных осей, называемых главными осями скоростей деформаций. Направления главных осей не совпадают с направлениями таких же осей тензоров и .

В главных осях Т_ξ :

Сдвиги с максимальными скоростями происходят в плоскостях, проходящих через одну из главных осей и делящих угол между двумя другими пополам. Их величина равна:

Скорости удлинений в направлении нормалей к площадкам максимальных скоростей сдвигов равны:

Тензор может быть представлен в виде суммы шарового тензора скоростей деформаций, описывающего скорость изменения относительного объема сплошной среды, и девиатора скоростей деформаций, описывающего скорость изменения формы:

,

где: ,

Скорости линейных деформаций в направлениях, нормальных к октаэдрическим площадкам, равны между собой и равны средней скорости линейных деформаций:

Скорость угловой деформации в октаэдрических плоскостях:

В теории пластичности широко используются интенсивности скоростей линейных деформаций и скоростей сдвиговых дефор-маций Н:

(3.45)

Девиатор скоростей деформаций :

Первый инвариант девиатора по определению равен нулю, а уд-военный положительный корень из второго равен интенсивности ско-рости сдвиговых деформаций:

Компоненты , как и компоненты , связаны условиями совместности:

В тензорной записи: